निश्चित बनाम अनिश्चितकालीन इंटीग्रल
कैलकुलस गणित की एक महत्वपूर्ण शाखा है, और कलन में विभेदन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। विभेदन की व्युत्क्रम प्रक्रिया को एकीकरण के रूप में जाना जाता है, और व्युत्क्रम को अभिन्न के रूप में जाना जाता है, या सीधे शब्दों में कहें तो विभेदन का व्युत्क्रम एक अभिन्न देता है। परिणामों के आधार पर वे इंटीग्रल को दो वर्गों में विभाजित करते हैं; निश्चित और अनिश्चित समाकल।
अनिश्चित इंटीग्रल के बारे में अधिक
अनिश्चित अभिन्न एकीकरण का एक सामान्य रूप है, और इसे माना कार्य के विरोधी-व्युत्पन्न के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।मान लीजिए कि F का विभेदन f देता है, और f का एकीकरण समाकलन देता है। इसे अक्सर F(x)=∫ƒ(x)dx या F=∫ƒ dx के रूप में लिखा जाता है जहां F और ƒ दोनों x के फलन हैं, और F अवकलनीय है। उपरोक्त रूप में, इसे रीमैन इंटीग्रल कहा जाता है और परिणामी फ़ंक्शन एक मनमाना स्थिरांक के साथ होता है। एक अनिश्चित अभिन्न अक्सर कार्यों का एक परिवार पैदा करता है; अत: समाकल अनिश्चित होता है।
इंटीग्रल और इंटीग्रेशन प्रोसेस डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करने के मूल में हैं। हालांकि, भेदभाव के विपरीत, एकीकरण हमेशा एक स्पष्ट और मानक दिनचर्या का पालन नहीं करता है; कभी-कभी, प्राथमिक कार्य के संदर्भ में समाधान को स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है। उस मामले में, विश्लेषणात्मक समाधान अक्सर अनिश्चितकालीन अभिन्न के रूप में दिया जाता है।
निश्चित इंटीग्रल्स के बारे में अधिक
निश्चित समाकलन अनिश्चित समाकलों के अत्यधिक मूल्यवान प्रतिरूप हैं जहां एकीकरण प्रक्रिया वास्तव में एक परिमित संख्या उत्पन्न करती है।इसे किसी दिए गए अंतराल के भीतर फ़ंक्शन ƒ के वक्र से घिरे क्षेत्र के रूप में रेखांकन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। जब भी स्वतंत्र चर के दिए गए अंतराल के भीतर एकीकरण किया जाता है, तो एकीकरण एक निश्चित मान उत्पन्न करता है जिसे अक्सर a∫bƒ(x) के रूप में लिखा जाता है dx या a∫b ƒdx.
अनिश्चित समाकलन और निश्चित समाकलन, कलन के पहले मौलिक प्रमेय के माध्यम से परस्पर जुड़े हुए हैं, और यह अनिश्चित समाकलों का उपयोग करके निश्चित समाकलन की गणना करने की अनुमति देता है। प्रमेय कहता है a∫bƒ(x)dx=F(b)-F(a) जहां F और ƒ दोनों x के फलन हैं, और F अंतराल (a, b) में अवकलनीय है। अंतराल को ध्यान में रखते हुए, a और b को क्रमशः निचली सीमा और ऊपरी सीमा के रूप में जाना जाता है।
केवल वास्तविक कार्यों के साथ रुकने के बजाय, एकीकरण को जटिल कार्यों तक बढ़ाया जा सकता है और उन इंटीग्रल को समोच्च इंटीग्रल कहा जाता है, जहां जटिल चर का एक कार्य है।
निश्चित और अनिश्चित समाकलन में क्या अंतर है?
अनिश्चित समाकलन एक निश्चित समाधान के बजाय एक फलन के विरोधी व्युत्पत्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं, और अक्सर, कार्यों के एक परिवार का प्रतिनिधित्व करते हैं। निश्चित समाकलों में समाकलन एक परिमित संख्या देता है।
अनिश्चित समाकलन एक मनमाना चर (इसलिए कार्यों का परिवार) को जोड़ते हैं और निश्चित समाकलों में एक मनमाना स्थिरांक नहीं होता है, बल्कि एक ऊपरी सीमा और एकीकरण की निचली सीमा होती है।
अनिश्चित समाकल आमतौर पर अवकल समीकरण का एक सामान्य हल देता है।
