इन्फिनिटी बनाम अपरिभाषित
'अनंत' और 'अपरिभाषित' दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं। ये कई क्षेत्रों में अधिक बार उपयोग की जाने वाली अवधारणाएँ हैं, विशेष रूप से गणित और भौतिकी में।
इन्फिनिटी
सबसे बड़ी संख्या क्या है जिसकी आप कल्पना कर सकते हैं? आप जो भी संख्या चुनते हैं, कोई व्यक्ति आपके द्वारा चुनी गई संख्या से बड़ी संख्या का परिचय केवल उसमें एक जोड़कर दे सकता है। इस प्रश्न के उत्तर के रूप में 'अनंत' की अवधारणा को पेश किया जा सकता था। 'इन्फिनिटी' शब्द लैटिन के "इनफिनिटास" से आया है, जिसका अर्थ है "अनबाउंडनेस"।
अनंत से बड़ी कोई संख्या नहीं है। हालाँकि, अनंत सबसे बड़ी संख्या नहीं है, क्योंकि यह कोई संख्या नहीं है।
अनंत का सही मान क्या है? आइए इस उदाहरण पर विचार करने के बाद इस प्रश्न का उत्तर दें।
सेट थ्योरी में प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, पूर्णांकों के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को अनंत समुच्चय कहा जाता है, क्योंकि इन सभी समुच्चयों में अपरिमित रूप से अनेक संख्याएँ होती हैं। यह स्पष्ट है कि वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में पूर्णांकों के समुच्चय की तुलना में अधिक अवयव होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह संभव है कि एक अनंत समुच्चय में दूसरे अनंत समुच्चय की तुलना में अधिक तत्व हों।
इसलिए, यह स्पष्ट रूप से समझा जाना चाहिए कि अनंत की अवधारणा उस विषय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होती है जिसके बारे में हम बात कर रहे हैं। गणित में इन्फिनिटी के विभिन्न अनुप्रयोग हैं; सेट थ्योरी, कलन और कई अन्य क्षेत्रों में।
अपरिभाषित
किसी भी संख्या को शून्य से भाग देने पर क्या मान होता है? अनंत है? यदि आप भौतिक विज्ञानी हैं, तो आप जिस सिद्धांत को लागू कर रहे हैं, उसके आधार पर यह शून्य हो सकता है। हालाँकि, यदि आप एक गणितज्ञ हैं, तो यह अपरिभाषित है।
एक और उदाहरण के लिए; ऋणात्मक संख्या का लघुगणक क्या होगा? चूँकि हम एक संख्या x नहीं खोज सकते हैं, जैसे कि nx=-r, जहाँ n और r पूर्णांक हैं; हम कहेंगे कि ऋणात्मक संख्या का लघुगणक अपरिभाषित है।
गणितीय रूप से, "अपरिभाषित" को एक ऐसी अभिव्यक्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो असंभव है, या एक अभिव्यक्ति जिसकी सटीक परिभाषा नहीं है, या एक अभिव्यक्ति जिसकी व्याख्या नहीं की जा सकती है। हालाँकि, जो कुछ आज अपरिभाषित है, उसे भविष्य में एक परिभाषा दी जा सकती है। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल अपरिभाषित था। आधुनिक गणित में, -1 के वर्गमूल को काल्पनिक संख्या i. के रूप में परिभाषित किया गया है।
'अनंत-अनंत' और 'अनंत/अनंत' के मान क्या हैं? ये सभी अभी भी अपरिभाषित हैं। अनंत का मान भी अपरिभाषित है।
इन्फिनिटी और अपरिभाषित में क्या अंतर है?
• अपरिभाषित का अर्थ है, जिसका समाधान असंभव है।
• अनंत का अर्थ है, यह बिना सीमा के है।
