सकर्मक संपत्ति बनाम प्रतिस्थापन संपत्ति
प्रतिस्थापन गुण का उपयोग उन मानों या चरों के लिए किया जाता है जो संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। समानता का प्रतिस्थापन गुण बताता है कि किसी भी संख्या a और b के लिए, यदि a=b है, तो a को b से बदला जा सकता है। इसलिए, यदि a=b, तो हम किसी भी 'a' को 'b' या किसी भी 'b' को 'a' में बदल सकते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि यह दिया गया है कि x=6, तो हम x के मान को प्रतिस्थापित करके व्यंजक (x+4)/5 को हल कर सकते हैं। उपरोक्त व्यंजक में x के स्थान पर 5 रखकर; (6+4)/5=2. अनिवार्य रूप से, किन्हीं दो मानों को एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है, यदि और केवल यदि, वे एक दूसरे के बराबर हों।
ज्यामिति में परिभाषित एक प्रतिस्थापन गुण है। इस प्रतिस्थापन गुण परिभाषा के अनुसार, यदि दो ज्यामितीय वस्तुएं (यह दो कोण, खंड, त्रिकोण, या जो भी हो सकती हैं) सर्वांगसम हैं, तो इन दो ज्यामितीय वस्तुओं को उनमें से एक को शामिल करते हुए एक दूसरे के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
सकर्मक गुण एक अधिक औपचारिक परिभाषा है, जिसे बाइनरी संबंधों पर परिभाषित किया गया है। समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध R क्रमित युग्मों का एक समूह है, यदि A और B बराबर हैं, तो हम कहते हैं कि संबंध A पर एक द्विआधारी संबंध है। सकर्मक गुण गुणों में से एक है (रिफ्लेक्सिव, सममित, सकर्मक) तुल्यता संबंधों को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है।
एक संबंध R सकर्मक है, यदि और केवल यदि, x, R से y से संबंधित है, और y, R से z से संबंधित है, तो x, R से z से संबंधित है। प्रतीकात्मक रूप से, एक सकर्मक संपत्ति को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए a, b और c एक समुच्चय A से संबंधित हैं, एक द्विआधारी संबंध '~' में सकर्मक गुण हैं, यदि a ~ b और b ~ c द्वारा परिभाषित किया गया है, तो इसका अर्थ है a ~ c।
उदाहरण के लिए, "से बड़ा होना" एक सकर्मक संबंध है। यदि a, b और c ऐसी कोई वास्तविक संख्या है, जो a, b से बड़ी है, और b, c से बड़ी है, तो यह एक तार्किक परिणाम है कि a, c से बड़ा है। "लंबा होना" भी एक सकर्मक संबंध है। यदि केट मैरी से लंबी है, और मैरी जेनी से लंबी है, तो इसका मतलब है कि केट जेनी से लंबी है।
हम सभी बाइनरी संबंधों पर सकर्मक संबंध मानदंड लागू नहीं कर सकते। उदाहरण के लिए, यदि बिल जॉन का पिता है और जॉन फ्रेड का पिता है, जिसका अर्थ यह नहीं है कि बिल फ्रेड का पिता है। इसी तरह, "पसंद" गैर-संक्रमणीय संपत्ति है। अगर विल्सन को हेनरी पसंद है और हेनरी को डेविड पसंद है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि विल्सन डेविड को पसंद करता है। इसलिए, यह एक सकर्मक संबंध नहीं है।
ज्यामिति में, सकर्मक गुण (तीन खंडों या कोणों के लिए) को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
यदि दो खंड (या कोण) प्रत्येक तीसरे खंड (या कोण) के सर्वांगसम हैं, तो वे एक दूसरे के साथ सर्वांगसम होते हैं।
समानता के सकर्मक गुण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। ए, बी और सी सेट ए में तीन तत्व हैं, जैसे कि ए=बी और बी=सी, फिर ए=सी। यह प्रतिस्थापन गुण के समान दिखता है, जिसे समीकरण a=b में c के साथ b को प्रतिस्थापित करने पर विचार किया जा सकता है। हालाँकि, ये दोनों गुण समान नहीं हैं।
