लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच मुख्य अंतर यह है कि लैग्रैंगियन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच अंतर का वर्णन करता है, जबकि हैमिल्टन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के योग का वर्णन करता है।
लैग्रैन्जियन मैकेनिक्स और हैमिल्टनियन मैकेनिक्स भौतिक रसायन विज्ञान में महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो शास्त्रीय यांत्रिकी के अंतर्गत आती हैं। लैग्रेंजियन यांत्रिकी को 1788 में इतालवी गणितज्ञ जोसेफ-लुई लैग्रेंज द्वारा विकसित किया गया था, जबकि हैमिल्टनियन यांत्रिकी को 1833 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित किया गया था।
लग्रैंजियन मैकेनिक्स क्या है?
Lagrangian यांत्रिकी को शास्त्रीय यांत्रिकी के सुधार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे 1788 में जोसेफ-लुई लैग्रेंज नामक इतालवी गणितज्ञ द्वारा पेश किया गया था।इस रासायनिक अवधारणा में, कणों से युक्त एक भौतिक प्रणाली का प्रक्षेपवक्र लैग्रेंज समीकरणों को दो रूपों में से एक में हल करके प्राप्त किया जाता है: पहली तरह के लैग्रेंज समीकरण और दूसरी तरह के लैग्रेंज समीकरण।
पहले प्रकार के लैग्रेंज समीकरण बाधाओं को स्पष्ट रूप से लैग्रेंज गुणकों का उपयोग करते हुए अतिरिक्त समीकरणों के रूप में मानते हैं, जबकि दूसरे प्रकार के लैग्रेंज समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक के विवेकपूर्ण विकल्प के माध्यम से बाधाओं को सीधे शामिल करते हैं। हालांकि, इन दो प्रकारों में से किसी एक में, लैग्रेंजियन नामक गणितीय फ़ंक्शन को सामान्यीकृत निर्देशांक, उनके समय व्युत्पन्न और समय के एक फ़ंक्शन के रूप में संदर्भित किया जाता है। इसके अलावा, इस अवधारणा में सिस्टम की गतिशीलता के बारे में जानकारी है।
चित्र 01: जोसेफ-लुई लैग्रेंज
Lagrangian यांत्रिकी गणितीय रूप से अधिक परिष्कृत और व्यवस्थित रासायनिक अवधारणा है। न्यूटनियन यांत्रिकी की तुलना में लग्रांगियन यांत्रिकी के अनुप्रयोग के लिए आवश्यक रूप से कोई नई भौतिकी अवधारणा नहीं पेश की गई है। हालांकि, लैग्रेंजियन यांत्रिकी भौतिकी में यांत्रिक समस्याओं को हल करने में बहुत उपयोगी है, जब न्यूटन के शास्त्रीय यांत्रिकी के सूत्र सुविधाजनक नहीं होते हैं।
हैमिल्टनियन मैकेनिक्स क्या है?
हैमिल्टनियन यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी का गणितीय रूप से परिष्कृत सूत्रीकरण है। यह रासायनिक अवधारणा सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण में योगदान करती है। इस अवधारणा को विलियम रोवन हैमिल्टन ने 1833 में विकसित किया था। उन्होंने इसे लैग्रैंजियन यांत्रिकी से शुरू करके विकसित किया था। इसके अलावा, हैमिल्टनियन यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी की सीमाओं में न्यूटन के गति के नियमों के बराबर है।
चित्र 02: सर विलियम हैमिल्टन
हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, हम शास्त्रीय भौतिक प्रणालियों का वर्णन करने में विहित निर्देशांक के एक सेट का उपयोग कर सकते हैं: r=(q, p)। इन घटकों के प्रत्येक निर्देशांक qi, pi उस भौतिक प्रणाली के संदर्भ के फ्रेम में अनुक्रमित है। qi निर्देशांक घटकों को सामान्यीकृत निर्देशांक के रूप में नामित किया गया है, जबकि pi को उनके संयुग्म क्षण के रूप में नामित किया गया है।
लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन मैकेनिक्स में क्या अंतर है?
लैग्रैन्जियन मैकेनिक्स और हैमिल्टनियन मैकेनिक्स भौतिक रसायन विज्ञान में महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो शास्त्रीय यांत्रिकी के अंतर्गत आती हैं। लैग्रैन्जियन यांत्रिकी को 1788 में जोसेफ-लुई लैग्रेंज नामक इतालवी गणितज्ञ द्वारा विकसित किया गया था, जबकि हैमिल्टनियन यांत्रिकी को 1833 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित किया गया था। लैग्रैंगियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लैग्रैंगियन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच अंतर का वर्णन करते हैं, जबकि हैमिल्टनियन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के योग का वर्णन करता है।इसके अलावा, लैग्रैन्जियन यांत्रिकी गणना में कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते हैं, जबकि हैमिल्टनियन यांत्रिकी विहित निर्देशांक का उपयोग करते हैं।
नीचे सारणीबद्ध रूप में लैग्रेंजियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच अंतर का सारांश है।
सारांश - लैग्रैन्जियन बनाम हैमिल्टनियन मैकेनिक्स
Lagrangian यांत्रिकी को शास्त्रीय यांत्रिकी के सुधार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हैमिल्टनियन यांत्रिकी शास्त्रीय यांत्रिकी का गणितीय रूप से परिष्कृत सूत्रीकरण है। लैग्रैन्जियन और हैमिल्टनियन यांत्रिकी के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि लैग्रैन्जियन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के बीच अंतर का वर्णन करता है, जबकि हैमिल्टनियन यांत्रिकी गतिज और संभावित ऊर्जाओं के योग का वर्णन करता है।
