स्थानीय बनाम वैश्विक अधिकतम
किसी समुच्चय या फलन का अधिकतम मान अधिकतम कहलाता है। सेट पर विचार करें {ai | मैं एन}। अवयव ak जहां ak ≥ ai सभी i के लिए समुच्चय के अधिकतम अवयव के रूप में जाना जाता है। यदि समुच्चय का आदेश दिया जाए तो वह समुच्चय का अंतिम अवयव बन जाता है।
उदाहरण के लिए, समुच्चय A={1, 6, 9, 2, 4, 8, 3} लें। सभी तत्वों को ध्यान में रखते हुए, 9 सेट में प्रत्येक अन्य तत्व से बड़ा है। अतः यह समुच्चय का अधिकतम अवयव है। समुच्चय को क्रमित करने पर हमें A={1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} प्राप्त होता है। क्रमित समुच्चय में, 9 (अधिकतम तत्व) अंतिम तत्व है।
स्थानीय अधिकतम
किसी उपसमुच्चय या किसी फ़ंक्शन की श्रेणी में सबसे बड़ा मान स्थानीय अधिकतम के रूप में जाना जाता है। यह दिए गए उपसमुच्चय या श्रेणी के लिए सबसे बड़ा मान है, लेकिन विख्यात श्रेणी या उपसमुच्चय के बाहर इससे बड़े अन्य तत्व भी हो सकते हैं। फ़ंक्शन या यूनिवर्सल सेट की सीमा में कई स्थानीय मैक्सिमा हो सकते हैं।
1 से 10 तक के पूर्णांकों के समुच्चय पर विचार करें, S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}। A, S का एक उपसमुच्चय है। अधिकतम A (9) पूरे सेट के लिए अधिकतम नहीं है, जो कि 10 है। इसलिए 9 एक स्थानीय अधिकतम है।
वैश्विक अधिकतम
किसी फ़ंक्शन या सेट का सबसे बड़ा समग्र मान वैश्विक अधिकतम के रूप में जाना जाता है। एस सेट है, 10 वैश्विक अधिकतम है। यह तत्व समुच्चय के किसी भी मान से बड़ा है। यदि यह एक फ़ंक्शन है तो यह सेट के पूरे डोमेन (कोडोमेन में सबसे बड़ा तत्व) पर फ़ंक्शन के किसी भी अन्य मान से बड़ा है। किसी फ़ंक्शन या सेट का वैश्विक अधिकतम अद्वितीय है (उस विशेष मामले के लिए)।
फ़ंक्शन के मामले में, अधिकतम मान पर फ़ंक्शन का ग्रेडिएंट शून्य होता है। अधिकतम से ठीक पहले का ग्रेडिएंट सकारात्मक है और उसके ठीक बाद का ग्रेडिएंट नकारात्मक है। यह फ़ंक्शन में स्थानीय मैक्सिमा खोजने के लिए एक परीक्षण के रूप में प्रयोग किया जाता है (प्रथम व्युत्पन्न परीक्षण)।
वैश्विक अधिकतम और स्थानीय अधिकतम में क्या अंतर है?
• किसी फ़ंक्शन के सेट या श्रेणी में अधिकतम सबसे बड़ा तत्व है।
• किसी फ़ंक्शन के सेट या मानों के समग्र तत्वों में वैश्विक अधिकतम सबसे बड़ा मान है।
• किसी उपसमुच्चय या किसी फ़ंक्शन की दी गई श्रेणी में स्थानीय अधिकतम तत्व सबसे बड़ा तत्व है।
• वैश्विक अधिकतम अद्वितीय है जबकि स्थानीय अधिकतम नहीं है। एक से अधिक स्थानीय अधिकतम हो सकते हैं। यदि केवल एक स्थानीय अधिकतम है, तो यह वैश्विक अधिकतम है।
