एसोसिएटिव बनाम कम्यूटेटिव
हमारे दैनिक जीवन में, जब भी हमें किसी चीज़ का माप प्राप्त करने की आवश्यकता होती है, तो हमें संख्याओं का उपयोग करना पड़ता है। किराने की दुकान पर, गैस स्टेशन पर, और यहाँ तक कि रसोई में भी, हमें दो या अधिक मात्राओं को जोड़ना, घटाना और गुणा करना होता है। अपने अभ्यास से, हम इन गणनाओं को काफी सहजता से करते हैं। हम कभी इस पर ध्यान नहीं देते या सवाल नहीं करते कि हम इन कार्यों को इस विशेष तरीके से क्यों करते हैं। या इन गणनाओं को अलग तरीके से क्यों नहीं किया जा सकता है। बीजगणित के गणितीय क्षेत्र में इन संक्रियाओं को परिभाषित करने के तरीके में इसका उत्तर छिपा है।
बीजगणित में, एक ऑपरेशन जिसमें दो मात्राएँ (जैसे जोड़) शामिल होती हैं, को बाइनरी ऑपरेशन के रूप में परिभाषित किया जाता है।अधिक सटीक रूप से यह एक सेट से दो तत्वों के बीच एक ऑपरेशन है और इन तत्वों को 'ऑपरेंड' कहा जाता है। गणित में कई संक्रियाएँ जिनमें पहले उल्लेखित अंकगणितीय संक्रियाएँ और समुच्चय सिद्धांत, रेखीय बीजगणित और गणितीय तर्क में सामने आने वाली संक्रियाओं को द्विआधारी संक्रियाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
एक विशिष्ट बाइनरी ऑपरेशन से संबंधित नियमों का एक सेट है। साहचर्य और कम्यूटेटिव गुण द्विआधारी संचालन के दो मूलभूत गुण हैं।
कम्यूटिव प्रॉपर्टी के बारे में अधिक
मान लें कि कुछ बाइनरी ऑपरेशन, प्रतीक ⊗ द्वारा दर्शाया गया है, ए और बी तत्वों पर किया जाता है। यदि ऑपरेंड का क्रम ऑपरेशन के परिणाम को प्रभावित नहीं कर रहा है, तो ऑपरेशन को कम्यूटेटिव कहा जाता है। अर्थात यदि A B=B ⊗ A तो संक्रिया क्रमविनिमेय है।
अंकगणितीय संक्रियाओं का जोड़ और गुणन क्रमविनिमेय हैं। संख्याओं को एक साथ जोड़ने या गुणा करने का क्रम अंतिम उत्तर को प्रभावित नहीं करता है:
ए + बी=बी + ए 4 + 5=5 + 4=9
ए × बी=बी × ए ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
लेकिन विभाजन के मामले में क्रम में परिवर्तन दूसरे का व्युत्क्रम देता है, और घटाव में परिवर्तन दूसरे का नकारात्मक देता है। इसलिए, ए - बी ≠ बी - ए ⇒ 4 - 5=-1 और 5 - 4=1
ए ÷ बी ≠ बी ÷ ए 4 ÷ 5=0.8 और 5 4=1.25 [इस मामले में ए, बी 1 और 0]
वास्तव में, घटाव को कम्यूटेटिव विरोधी कहा जाता है; जहां ए - बी=- (बी - ए)।
साथ ही, तार्किक संयोजक, संयोजन, वियोग, निहितार्थ और तुल्यता भी क्रमविनिमेय हैं। सत्य कार्य भी कम्यूटिव हैं। सेट ऑपरेशंस यूनियन और चौराहे कम्यूटिव हैं। जोड़ और सदिशों का अदिश गुणनफल भी क्रमविनिमेय होता है।
लेकिन वेक्टर घटाव और वेक्टर उत्पाद कम्यूटेटिव नहीं है (दो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद कम्यूटेटिव विरोधी है)। मैट्रिक्स जोड़ कम्यूटिव है, लेकिन गुणा और घटाव कम्यूटिव नहीं हैं।(दो आव्यूहों का गुणन विशेष मामलों में क्रमविनिमेय हो सकता है, जैसे किसी आव्यूह का उसके व्युत्क्रम या पहचान आव्यूह से गुणा करना; लेकिन निश्चित रूप से आव्यूह क्रमविनिमेय नहीं हैं यदि आव्यूह समान आकार के नहीं हैं)
सहयोगी संपत्ति के बारे में अधिक
एक बाइनरी ऑपरेशन को साहचर्य कहा जाता है यदि निष्पादन का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है जब ऑपरेटर की दो या अधिक घटनाएं मौजूद होती हैं। तत्वों ए, बी और सी और बाइनरी ऑपरेशन ⊗ पर विचार करें। ऑपरेशन ⊗ को सहयोगी कहा जाता है यदि
ए ⊗ बी ⊗ सी=ए ⊗ (बी ⊗ सी)=(ए ⊗ बी) ⊗ सी
मूल अंकगणितीय कार्यों से, केवल जोड़ और गुणा सहयोगी हैं।
ए + (बी + सी)=(ए + बी) + सी ⇒ 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
ए × (बी × सी)=(ए × बी) × सी ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) ×3=60
घटाव और भाग साहचर्य नहीं हैं;
ए - (बी - सी) ≠ (ए - बी) - सी ⇒ 4 - (5 - 3)=2 और (5 - 4) - 3=-2
ए ÷ (बी ÷ सी) ≠ (ए ÷ बी) ÷ सी ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 और (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
लॉजिकल कनेक्टिव्स डिसजंक्शन, कंजंक्शन और तुल्यता सहयोगी हैं, साथ ही सेट ऑपरेशंस यूनियन और इंटरसेक्शन भी हैं। मैट्रिक्स और वेक्टर जोड़ सहयोगी हैं। सदिशों का अदिश गुणन साहचर्य है, लेकिन सदिश गुणनफल नहीं है। विशेष परिस्थितियों में ही मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है।
कम्यूटिव और एसोसिएटिव प्रॉपर्टी में क्या अंतर है?
• साहचर्य संपत्ति और कम्यूटेटिव संपत्ति दोनों द्विआधारी संचालन के विशेष गुण हैं, और कुछ उन्हें संतुष्ट करते हैं और कुछ नहीं।
• इन गुणों को गणित में बीजगणितीय संक्रियाओं और अन्य द्विआधारी संक्रियाओं के कई रूपों में देखा जा सकता है, जैसे कि प्रतिच्छेदन और सेट सिद्धांत में संघ या तार्किक संयोजक।
• कम्यूटेटिव और साहचर्य के बीच का अंतर यह है कि कम्यूटेटिव प्रॉपर्टी बताती है कि तत्वों का क्रम अंतिम परिणाम नहीं बदलता है जबकि सहयोगी संपत्ति बताती है कि जिस क्रम में ऑपरेशन किया जाता है, वह अंतिम उत्तर को प्रभावित नहीं कर रहा है.
