हाइपरबोला बनाम एलिप्स
जब एक शंकु को अलग-अलग कोणों पर काटा जाता है, तो शंकु के किनारे से अलग-अलग वक्र चिह्नित होते हैं। इन वक्रों को अक्सर शंकु वर्ग कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, एक शंकु खंड एक समतल सतह के साथ एक सम वृत्तीय शंकु सतह को प्रतिच्छेद करके प्राप्त वक्र है। प्रतिच्छेदन के विभिन्न कोणों पर, विभिन्न शंकु खंड दिए गए हैं।
अतिपरवलय और दीर्घवृत्त दोनों शंकु वर्ग हैं, और इस संदर्भ में उनके अंतरों की तुलना आसानी से की जा सकती है।
एलिप्स के बारे में अधिक
जब शंकु सतह और समतल सतह का प्रतिच्छेदन एक बंद वक्र बनाता है, तो इसे दीर्घवृत्त के रूप में जाना जाता है। इसमें शून्य और एक (0<e<1) के बीच एक विलक्षणता है। इसे एक समतल पर बिंदुओं के समुच्चय के बिंदुपथ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं से बिंदु तक की दूरी का योग स्थिर रहता है। इन दो स्थिर बिंदुओं को 'फोसी' के रूप में जाना जाता है। (याद रखें; प्राथमिक गणित की कक्षाओं में दीर्घवृत्त को दो स्थिर पिनों, या एक स्ट्रिंग लूप और दो पिनों से बंधी एक स्ट्रिंग का उपयोग करके खींचा जाता है।)
नाभ से गुजरने वाले रेखा खंड को दीर्घ अक्ष के रूप में जाना जाता है, और दीर्घ अक्ष के लंबवत और दीर्घवृत्त के केंद्र से गुजरने वाले अक्ष को लघु अक्ष के रूप में जाना जाता है।प्रत्येक अक्ष के साथ व्यास को क्रमशः अनुप्रस्थ व्यास और संयुग्म व्यास के रूप में जाना जाता है। आधे प्रमुख अक्ष को अर्ध-प्रमुख अक्ष के रूप में जाना जाता है, और आधा लघु अक्ष को अर्ध-लघु अक्ष के रूप में जाना जाता है।
प्रत्येक बिंदु F1 और F2 दीर्घवृत्त और लंबाई F1 के नाभि के रूप में जाने जाते हैं + PF2 =2a, जहां P दीर्घवृत्त पर एक मनमाना बिंदु है। उत्केंद्रता ई को फोकस से मनमाना बिंदु (पीएफ 2) की दूरी और डायरेक्ट्रिक्स (पीडी) से मनमानी बिंदु के लंबवत दूरी के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। यह दो फ़ॉसी और अर्ध-प्रमुख अक्ष के बीच की दूरी के बराबर भी है: e=PF/PD=f/a
दीर्घवृत्त का सामान्य समीकरण, जब अर्ध-प्रमुख अक्ष और अर्ध-लघु अक्ष कार्तीय अक्षों के साथ मेल खाते हैं, निम्नानुसार दिया गया है।
x2/a2 + y2/b2=1
दीर्घवृत्त की ज्यामिति के कई अनुप्रयोग हैं, विशेषकर भौतिकी में।सौर मंडल में ग्रहों की कक्षाएँ अण्डाकार हैं और सूर्य एक फोकस के रूप में है। एंटीना और ध्वनिक उपकरणों के लिए परावर्तक इस तथ्य का लाभ उठाने के लिए अण्डाकार आकार में बने होते हैं कि किसी भी उत्सर्जन के रूप में एक फोकस दूसरे फोकस पर अभिसरण होगा।
अतिपरवलय के बारे में अधिक
हाइपरबोला भी एक शंक्वाकार खंड है, लेकिन यह ओपन एंडेड है। हाइपरबोला शब्द को आकृति में दिखाए गए दो डिस्कनेक्ट किए गए वक्रों के लिए संदर्भित किया जाता है। दीर्घवृत्त की तरह बंद होने के बजाय अतिपरवलय की भुजाएँ या शाखाएँ अनंत तक जारी रहती हैं।
वे बिंदु जहाँ दो शाखाओं के बीच की दूरी सबसे कम होती है, शीर्ष कहलाते हैं। शीर्षों से गुजरने वाली रेखा को प्रमुख अक्ष या अनुप्रस्थ अक्ष माना जाता है, और यह अतिपरवलय के प्रमुख अक्षों में से एक है।परवलय के दो केंद्र भी प्रमुख अक्ष पर स्थित हैं। दो शीर्षों के बीच की रेखा का मध्य बिंदु केंद्र है, और रेखा खंड की लंबाई अर्ध-प्रमुख अक्ष है। अर्ध-प्रमुख अक्ष का लंबवत द्विभाजक अन्य प्रमुख अक्ष है, और अतिपरवलय के दो वक्र इस अक्ष के चारों ओर सममित हैं। परवलय की विलक्षणता एक से अधिक है; ई > 1.
यदि मुख्य अक्ष कार्तीय अक्षों के साथ मेल खाते हैं, तो अतिपरवलय का सामान्य समीकरण निम्न प्रकार का होता है:
x2/a2 - y2/b2=1,
जहाँ a अर्ध-प्रमुख अक्ष है और b केंद्र से किसी भी फ़ोकस की दूरी है।
x-अक्ष की ओर खुले सिरे वाले अतिपरवलय को पूर्व-पश्चिम अतिपरवलय के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार के अतिपरवलय y अक्ष पर भी प्राप्त किए जा सकते हैं। इन्हें y-अक्ष अतिपरवलय के रूप में जाना जाता है। ऐसे अतिपरवलय का समीकरण रूप लेता है
y2/a2 - x2/b2=1
अतिपरवलय और दीर्घवृत्त में क्या अंतर है?
• दीर्घवृत्त और अतिपरवलय दोनों शंक्वाकार खंड हैं, लेकिन दीर्घवृत्त एक बंद वक्र है जबकि अतिपरवलय में दो खुले वक्र होते हैं।
• इसलिए, दीर्घवृत्त की परिमित परिधि होती है, लेकिन अतिपरवलय की लंबाई अनंत होती है।
• दोनों अपनी प्रमुख और छोटी धुरी के चारों ओर सममित हैं, लेकिन प्रत्येक मामले में डायरेक्ट्रिक्स की स्थिति अलग है। दीर्घवृत्त में, यह अर्ध-प्रमुख अक्ष के बाहर स्थित है, जबकि अतिपरवलय में, यह अर्ध-प्रमुख अक्ष में स्थित है।
• दो शंकु वर्गों की विलक्षणताएं भिन्न हैं।
0 <eElipse < 1
ईहाइपरबोला > 0
• दो वक्रों का सामान्य समीकरण समान दिखता है, लेकिन वे भिन्न हैं।
• दीर्घ-अक्ष का लंब समद्विभाजक वक्र को दीर्घवृत्त में काटता है, लेकिन अतिपरवलय में नहीं।
(छवि स्रोत: विकिपीडिया)
