हाइपरबोला बनाम आयताकार हाइपरबोला
शंकु खंड चार प्रकार के होते हैं जिन्हें दीर्घवृत्त, वृत्त, परवलय और अतिपरवलय कहते हैं। ये चार प्रकार के शंकु वर्ग एक द्वि-शंकु और एक तल के प्रतिच्छेदन से बनते हैं। समतल और शंकु के अक्ष के बीच के कोण के आधार पर शंकु खंड का प्रकार तय किया जाएगा। इस लेख में, केवल अतिपरवलय के गुण और अतिपरवलय और आयताकार अतिपरवलय के बीच का अंतर, जो अतिपरवलय का एक विशेष मामला है, पर चर्चा की गई है।
हाइपरबोला
शब्द "हाइपरबोला" एक ग्रीक शब्द से आया है, जिसका अर्थ है "ओवर-थ्रो"। ऐसा माना जाता है कि हाइपरबोला की शुरुआत एक महान गणितज्ञ एप्लोनियस ने की थी।
अतिपरवलय बनाने के दो तरीके हैं। पहली विधि एक शंकु और एक समतल के बीच प्रतिच्छेदन पर विचार करना है, जो शंकु की धुरी के समानांतर है। दूसरी विधि एक शंकु और एक समतल के बीच के प्रतिच्छेदन पर विचार करना है, जो शंकु की धुरी और शंकु के अक्ष के साथ शंकु पर किसी भी रेखा के बीच के कोण से कम कोण बनाता है।
ज्यामितीय अतिपरवलय एक वक्र होता है। अतिपरवलय का समीकरण इस प्रकार लिखा जा सकता है (x2/a2) – (y2/b 2)=1.
एक अतिपरवलय में दो अलग-अलग शाखाएं होती हैं, जिन्हें जुड़े हुए घटक कहते हैं। दो शाखाओं पर निकटतम बिंदुओं को शिखर कहा जाता है और इन दो पिंटों से गुजरने वाली रेखा को प्रमुख अक्ष कहा जाता है। जैसे-जैसे दो वक्र केंद्र से अधिक दूरी पर पहुंचते हैं, वे दो रेखाओं तक पहुंचते हैं। इन रेखाओं को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है।
आयताकार अतिपरवलय
अतिपरवलय का एक विशेष मामला, जिसमें अतिपरवलय के समीकरण में a=b, आयताकार अतिपरवलय कहलाता है। इसलिए, आयताकार अतिपरवलय का समीकरण है x2 – y2=a2.
आयताकार अतिपरवलय में ओर्थोगोनल स्पर्शोन्मुख रेखाएँ होती हैं। आयताकार अतिपरवलय को ओर्थोगोनल अतिपरवलय या समबाहु अतिपरवलय भी कहा जाता है।
यदि आयताकार परवलय के दो वक्र x-अक्ष और y-अक्ष के साथ समन्वय तल के पहले और तीसरे चतुर्थांश में स्थित हैं, जो कि अनंतस्पर्शी है, तो यह xy=k के रूप में होता है, जहां k एक धनात्मक संख्या है। यदि k एक ऋणात्मक संख्या है, तो आयताकार अतिपरवलय की दो शाखाएँ चतुर्थांश दो और चार में होती हैं।
में क्या अंतर है ?
· आयताकार अतिपरवलय एक विशेष प्रकार का अतिपरवलय है जिसमें इसके स्पर्शोन्मुख एक दूसरे के लंबवत होते हैं।
· (x2/a2) - (y2/b 2)=1 अतिपरवलय का सामान्य रूप है, जबकि a=b आयताकार अतिपरवलय के लिए, अर्थात: x2 – y2=ए2।
