साइन बनाम आर्कसिन
साइन मूल त्रिकोणमितीय अनुपातों में से एक है। यह एक अपरिहार्य गणितीय इकाई है जिसे आप हाई स्कूल स्तर से किसी भी गणितीय सिद्धांत में पाते हैं। जिस तरह साइन किसी दिए गए कोण के लिए एक मान देता है, उसी तरह दिए गए मान के लिए कोण की भी गणना की जा सकती है। आर्कसिन या उलटा पाप वह प्रक्रिया है।
साइन के बारे में अधिक
पाप को मूल रूप से समकोण त्रिभुज के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। अनुपात के रूप में अपने मूल रूप में, इसे कर्ण की लंबाई से विभाजित कोण (α) के विपरीत पक्ष की लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है। sin α=(विपरीत भुजा की लंबाई)/(कर्ण की लंबाई)।
अधिक व्यापक अर्थ में, पाप को एक कोण के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां कोण का परिमाण रेडियन में दिया जाता है। यह एक इकाई वृत्त की त्रिज्या के ऊर्ध्वाधर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण की लंबाई है। आधुनिक गणित में, इसे टेलर श्रृंखला का उपयोग करके या कुछ अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में भी परिभाषित किया गया है।
साइन फंक्शन का डोमेन ऋणात्मक अनंत से लेकर वास्तविक संख्याओं के धनात्मक अनंत तक होता है, जिसमें वास्तविक संख्याओं का समुच्चय भी कोडोमेन के रूप में होता है। लेकिन साइन फंक्शन की रेंज -1 और +1 के बीच होती है। गणितीय रूप से, वास्तविक संख्याओं से संबंधित सभी α के लिए, sin α अंतराल [-1, +1];{ ∀ α∈R, sin α ∈[-1, +1] के अंतर्गत आता है। यानी पाप: R→ [-1, +1]
साइन फंक्शन के लिए निम्नलिखित आइडेंटिटी होल्ड होती हैं;
पाप (nπ±α)=± पाप α; जब n∈Z और sin (nπ±α)=± cos α जब n∈ 1/2, 3/2, 5/2, 7/2 …… (1/2 का विषम गुणज)। साइन फ़ंक्शन का व्युत्क्रम कोसेकेंट परिभाषित किया गया है, डोमेन R-{0} और श्रेणी R. के साथ
आर्कसिन (उलटा ज्या) के बारे में अधिक
प्रतिलोम ज्या को आर्क्साइन कहते हैं। व्युत्क्रम ज्या फलन में, किसी दी गई वास्तविक संख्या के लिए कोण की गणना की जाती है। व्युत्क्रम फ़ंक्शन में, डोमेन और कोडोमेन के बीच संबंध को पीछे की ओर मैप किया जाता है। साइन का डोमेन आर्क्साइन के लिए कोडोमैन के रूप में कार्य करता है, और साइन के लिए कोडोमैन डोमेन के रूप में कार्य करता है। यह [-1, +1] से R तक एक वास्तविक संख्या का मानचित्रण है
हालांकि, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ एक समस्या यह है कि उनका व्युत्क्रम माना गया मूल कार्य के पूरे डोमेन के लिए मान्य नहीं है। (क्योंकि यह किसी फ़ंक्शन की परिभाषा का उल्लंघन करता है)। इसलिए, व्युत्क्रम पाप की सीमा [-π, +π] तक सीमित है, इसलिए डोमेन के तत्वों को कोडोमेन में कई तत्वों में मैप नहीं किया जाता है। तो पाप-1: [-1, +1]→ [-π, +π]
साइन और व्युत्क्रम ज्या (आर्क्साइन) में क्या अंतर है?
• साइन एक बुनियादी त्रिकोणमितीय फलन है, और आर्क्साइन साइन का व्युत्क्रम फलन है।
• साइन फ़ंक्शन किसी भी वास्तविक संख्या/कोण को रेडियन में -1 और +1 के बीच के मान में मैप करता है, जबकि आर्क्सिन [-1, +1] से [-π, +π] में एक वास्तविक संख्या को मैप करता है।
