डॉट उत्पाद बनाम क्रॉस उत्पाद
डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद वेक्टर बीजगणित में उपयोग किए जाने वाले दो गणितीय कार्य हैं, जो बीजगणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण क्षेत्र है। इन अवधारणाओं का व्यापक रूप से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी, शास्त्रीय यांत्रिकी, सापेक्षता और भौतिकी और गणित में कई अन्य क्षेत्रों जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। इस लेख में, हम चर्चा करने जा रहे हैं कि डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद क्या हैं, उनकी परिभाषाएँ और अनुप्रयोग, डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद से संबंधित कुछ बुनियादी संबंध, और अंत में डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद के बीच का अंतर।
डॉट उत्पाद
डॉट उत्पाद, जिसे अदिश उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय संकारक है जिसका उपयोग वेक्टर बीजगणित में किया जाता है। दो वैक्टर A और B के डॉट उत्पाद को |A||B|. के रूप में परिभाषित किया गया है Cos (θ), जहां ए और बी के बीच का कोण है। यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि डॉट उत्पाद का मूल्य एक अदिश मान है; इसलिए, डॉट उत्पाद को अदिश उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है। जब दो वैक्टर एक दूसरे के समानांतर होते हैं तो डॉट उत्पाद अधिकतम मूल्य देता है। डॉट उत्पाद का न्यूनतम मूल्य तब होता है जब दो वैक्टर समानांतर होते हैं। किसी दिए गए दिशा में वेक्टर के प्रक्षेपण को लेने के लिए डॉट उत्पाद का भी उपयोग किया जा सकता है; इसके लिए दूसरा सदिश वांछित दिशा में इकाई सदिश होना चाहिए। डॉट उत्पाद गॉस प्रमेय के लिए क्षेत्र समाकलन लेने में भी बहुत उपयोगी है। यह डिफरेंशियल ऑपरेशन डाइवर्जेंस में भी भूमिका निभाता है। डॉट उत्पाद का उपयोग बल क्षेत्र में किए गए कार्य की गणना के लिए भी किया जाता है।
क्रॉस प्रोडक्ट
क्रॉस उत्पाद, जिसे वेक्टर उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है, एक गणितीय ऑपरेशन है जिसका उपयोग वेक्टर बीजगणित में किया जाता है।दो वैक्टर ए और बी के बीच क्रॉस उत्पाद को परिभाषित किया गया है |ए||बी| पाप (θ) एन, जहां ए और बी के बीच का कोण है, और एन ए और बी वाले विमान के लिए इकाई सामान्य वेक्टर है। एन की दिशा ए की दिशा से दाएं हाथ के पेंच नियम द्वारा निर्धारित की जाती है। B. डॉट उत्पाद का मापांक अधिकतम होता है जब A और B के बीच का कोण 90 डिग्री (π/2 रेडियन) होता है। क्रॉस उत्पाद का उपयोग वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल की गणना करने के लिए किया जाता है। इसका उपयोग कोणीय गति, कोणीय वेग और कोणीय गति के अन्य गुणों की गणना के लिए भी किया जाता है।
डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद में क्या अंतर है?
• डॉट उत्पाद एक अदिश मान देता है, जबकि क्रॉस उत्पाद एक वेक्टर उत्पन्न करता है।
• क्रॉस उत्पाद अधिकतम मान लेता है जब दो वैक्टर एक दूसरे के लंबवत होते हैं, लेकिन डॉट उत्पाद अधिकतम लेता है जब दो वैक्टर एक दूसरे के समानांतर होते हैं।
• वेक्टर क्षेत्र के विचलन की गणना के लिए डॉट उत्पाद का उपयोग किया जाता है, लेकिन क्रॉस उत्पाद का उपयोग वेक्टर क्षेत्र के कर्ल की गणना के लिए किया जाता है।
