लाप्लास बनाम फूरियर ट्रांसफॉर्म
लाप्लास ट्रांसफॉर्म और फूरियर ट्रांसफॉर्म दोनों इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म हैं, जो गणितीय रूप से मॉडल किए गए भौतिक सिस्टम को हल करने के लिए गणितीय तरीकों के रूप में सबसे अधिक नियोजित होते हैं। प्रक्रिया सरल है। एक जटिल गणितीय मॉडल को एक अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके एक सरल, हल करने योग्य मॉडल में परिवर्तित किया जाता है। एक बार सरल मॉडल हल हो जाने के बाद, उलटा अभिन्न परिवर्तन लागू किया जाता है, जो मूल मॉडल का समाधान प्रदान करेगा।
उदाहरण के लिए, चूंकि अधिकांश भौतिक प्रणालियों के परिणामस्वरूप अंतर समीकरण होते हैं, उन्हें एक अभिन्न परिवर्तन का उपयोग करके बीजीय समीकरणों में या कम डिग्री आसानी से हल करने योग्य अंतर समीकरणों में परिवर्तित किया जा सकता है। तब समस्या का समाधान आसान हो जाएगा।
लाप्लास ट्रांसफॉर्म क्या है?
एक वास्तविक चर t के एक फ़ंक्शन f (t) को देखते हुए, इसका लाप्लास रूपान्तरण इंटीग्रल [लेटेक्स] F(s)=\\int_{0}^{ \\infty} e^{- द्वारा परिभाषित किया गया है st}f(t)dt [/latex] (जब भी यह मौजूद हो), जो एक जटिल चर s का एक कार्य है। इसे आमतौर पर एल {एफ (टी)} द्वारा दर्शाया जाता है। एक फलन F (s) के प्रतिलोम लाप्लास रूपान्तरण को फलन f (t) के रूप में इस प्रकार लिया जाता है कि L { f (t)}=F (s), और सामान्य गणितीय संकेतन में हम लिखते हैं, L-1{ एफ (एस)}=एफ (टी)। व्युत्क्रम परिवर्तन को अद्वितीय बनाया जा सकता है यदि अशक्त कार्यों की अनुमति नहीं है। इन दोनों को फंक्शन स्पेस में परिभाषित रैखिक ऑपरेटरों के रूप में पहचाना जा सकता है, और यह देखना भी आसान है कि, L -1{ L { f (t)}}=f (t), अगर अशक्त कार्यों की अनुमति नहीं है।
निम्न तालिका कुछ सबसे सामान्य कार्यों के लाप्लास रूपांतरणों को सूचीबद्ध करती है।
फूरियर रूपांतरण क्या है?
एक वास्तविक चर t के एक फ़ंक्शन f (t) को देखते हुए, इसका लाप्लास परिवर्तन इंटीग्रल [लेटेक्स] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\ द्वारा परिभाषित किया गया है pi}} \int_{- \\infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex] (जब भी यह मौजूद हो), और आमतौर पर F { f द्वारा दर्शाया जाता है (टी)}। व्युत्क्रम परिवर्तन F -1{ F (α)} इंटीग्रल [लेटेक्स] f(t)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi द्वारा दिया गया है }}\\int_{- \\infty}^{\infty} e^{-i \\alpha t}F(\alpha)d\\alpha [/latex]. फूरियर रूपांतरण भी रैखिक है, और इसे फ़ंक्शन स्पेस में परिभाषित एक ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है।
फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, मूल फ़ंक्शन को निम्नानुसार लिखा जा सकता है, बशर्ते कि फ़ंक्शन में केवल सीमित संख्या में असंततताएं हों और यह पूरी तरह से एकीकृत हो।
लाप्लास और फूरियर ट्रांसफॉर्म में क्या अंतर है?
- फ़ंक्शन f (t) के फूरियर रूपांतरण को [लेटेक्स] F(\alpha)=\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi}} \int_{- / के रूप में परिभाषित किया गया है \infty}^{\infty} e^{i \\alpha t}f(t)dt [/latex], जबकि इसके लैपलेस ट्रांसफॉर्म को [लेटेक्स] F(s)=\\int_{ के रूप में परिभाषित किया गया है 0}^{ \\infty} e^{-st}f(t)dt [/latex].
- फूरियर रूपांतरण केवल सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है, जबकि लाप्लास परिवर्तन को नकारात्मक वास्तविक संख्याओं को सेट करने के लिए फ़ंक्शन को परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं है।
- फूरियर ट्रांसफॉर्म लाप्लास ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला है। यह देखा जा सकता है कि दोनों गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए मेल खाते हैं। (अर्थात s को लैपलेस में iα + β लें जहां α और β वास्तविक हैं जैसे कि e β=1/ (2ᴫ))
- फूरियर ट्रांसफॉर्म वाले हर फंक्शन में लाप्लास ट्रांसफॉर्म होगा लेकिन इसके विपरीत नहीं।
