फूरियर सीरीज बनाम फूरियर ट्रांसफॉर्म
फूरियर श्रृंखला विभिन्न आवृत्तियों और आयामों के साथ एक आवधिक कार्य को साइन और कोसाइन के योग में विघटित करती है। फूरियर श्रृंखला फूरियर विश्लेषण की एक शाखा है और इसे जोसेफ फूरियर द्वारा पेश किया गया था। फूरियर ट्रांसफॉर्म एक गणितीय ऑपरेशन है जो अपने घटक आवृत्तियों में सिग्नल को तोड़ता है। मूल सिग्नल जो समय के साथ बदलता है, सिग्नल का टाइम डोमेन रिप्रेजेंटेशन कहलाता है। फूरियर रूपांतरण को सिग्नल का आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व कहा जाता है क्योंकि यह आवृत्ति पर निर्भर करता है। सिग्नल के फ़्रीक्वेंसी डोमेन प्रतिनिधित्व और उस सिग्नल को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में बदलने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया दोनों को फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म कहा जाता है।
फूरियर सीरीज क्या है?
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, फूरियर श्रृंखला एक आवधिक कार्य का विस्तार है जिसमें अनंत योग और कोसाइन का उपयोग किया जाता है। फूरियर श्रृंखला शुरू में गर्मी समीकरणों को हल करते समय विकसित की गई थी, लेकिन बाद में यह पता चला कि एक ही तकनीक का उपयोग गणितीय समस्याओं के एक बड़े सेट को हल करने के लिए किया जा सकता है, विशेष रूप से ऐसी समस्याएं जिनमें स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरण शामिल हैं। अब, फूरियर श्रृंखला में इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, कंपन विश्लेषण, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, सिग्नल प्रोसेसिंग, छवि प्रसंस्करण, क्वांटम यांत्रिकी और अर्थमिति सहित बड़ी संख्या में क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं। फूरियर श्रृंखला साइन और कोसाइन कार्यों के ऑर्थोगोनैलिटी संबंधों का उपयोग करती है। फूरियर श्रृंखला की गणना और अध्ययन को हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और मनमानी आवधिक कार्यों के साथ काम करते समय बहुत उपयोगी होता है, क्योंकि यह फ़ंक्शन को सरल शब्दों में तोड़ने की अनुमति देता है जिसका उपयोग मूल समस्या का समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।
फूरियर रूपांतरण क्या है?
फूरियर ट्रांसफॉर्म टाइम डोमेन में सिग्नल और फ़्रीक्वेंसी डोमेन में इसके प्रतिनिधित्व के बीच संबंध को परिभाषित करता है। फूरियर रूपांतरण एक फ़ंक्शन को ऑसिलेटरी फ़ंक्शंस में विघटित करता है। चूंकि यह एक परिवर्तन है, इसलिए परिवर्तन को जानने से मूल संकेत प्राप्त किया जा सकता है, इस प्रकार इस प्रक्रिया में कोई जानकारी नहीं बनती या खो जाती है। फूरियर श्रृंखला का अध्ययन वास्तव में फूरियर रूपांतरण के लिए प्रेरणा प्रदान करता है। साइन और कोसाइन के गुणों के कारण यह संभव है कि प्रत्येक तरंग की मात्रा को एक अभिन्न का उपयोग करके योग में योगदान दिया जाए। फूरियर रूपांतरण में कुछ बुनियादी गुण होते हैं जैसे कि रैखिकता, अनुवाद, मॉड्यूलेशन, स्केलिंग, संयुग्मन, द्वैत और दृढ़ संकल्प। फूरियर रूपांतरण अंतर समीकरणों को हल करने में लागू होता है क्योंकि फूरियर रूपांतरण लाप्लास परिवर्तन से निकटता से संबंधित है। फूरियर रूपांतरण का उपयोग परमाणु चुंबकीय अनुनाद (NMR) और अन्य प्रकार की स्पेक्ट्रोस्कोपी में भी किया जाता है।
फूरियर सीरीज और फूरियर ट्रांसफॉर्म के बीच अंतर
फूरियर श्रृंखला साइन और कोसाइन के रैखिक संयोजन के रूप में आवधिक संकेत का विस्तार है जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म समय डोमेन से आवृत्ति डोमेन में संकेतों को परिवर्तित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया या कार्य है। फूरियर श्रृंखला को आवधिक संकेतों के लिए परिभाषित किया गया है और फूरियर रूपांतरण को एपेरियोडिक (आवधिकता के बिना होने वाले) संकेतों पर लागू किया जा सकता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, फूरियर श्रृंखला का अध्ययन वास्तव में फूरियर रूपांतरण के लिए प्रेरणा प्रदान करता है।
