पावर सीरीज और टेलर सीरीज के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

पावर सीरीज बनाम टेलर सीरीज

गणित में, एक वास्तविक अनुक्रम वास्तविक संख्याओं की एक क्रमबद्ध सूची है। औपचारिक रूप से, यह प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक का एक फलन है। यदि a_n किसी अनुक्रम का n^th पद है, तो हम अनुक्रम को ₁ द्वारा या उसके द्वारा निरूपित करते हैं।, ए ₂, …, ए_n, …। उदाहरण के लिए, अनुक्रम 1, ½, ⅓, …, ^{1 पर विचार करें} / _{n,…. इसे {1/n} के रूप में दर्शाया जा सकता है।}

अनुक्रमों का उपयोग करके एक श्रृंखला को परिभाषित करना संभव है। एक श्रृंखला एक अनुक्रम की शर्तों का योग है। इसलिए, प्रत्येक अनुक्रम के लिए, एक संबद्ध अनुक्रम होता है और इसके विपरीत।यदि {a_{n} विचाराधीन अनुक्रम है, तो उस क्रम से बनी श्रृंखला को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:}

इस प्रकार, उपरोक्त उदाहरण में, संबंधित श्रृंखला 1+¹/₂+^{1 है /}3_{+ … +} 1^/ n _{+ ….}

जैसा कि नाम से पता चलता है, शक्ति श्रृंखला एक विशेष प्रकार की श्रृंखला है और इसका व्यापक रूप से संख्यात्मक विश्लेषण और संबंधित गणितीय मॉडलिंग में उपयोग किया जाता है। टेलर श्रृंखला एक विशेष शक्ति श्रृंखला है जो प्रसिद्ध कार्यों का प्रतिनिधित्व करने का एक वैकल्पिक और आसानी से हेरफेर करने वाला तरीका प्रदान करती है।

पावर सीरीज क्या है?

एक शक्ति श्रृंखला प्रपत्र की एक श्रृंखला है

जो c पर केंद्रित कुछ अंतराल के लिए अभिसरण (संभवतः) है। गुणांक a_{nवास्तविक या सम्मिश्र संख्या हो सकते हैं, और x से स्वतंत्र होते हैं; यानी डमी वैरिएबल।}

उदाहरण के लिए, प्रत्येक n के लिए _n=1 सेट करके, और c=0, शक्ति श्रृंखला 1+x+x² +…..+ x^{+… प्राप्त होता है। यह देखना आसान है कि जब x (-1, 1), यह घात श्रेणी 1/(1-x) में परिवर्तित हो जाती है।}

जब x=c होता है तो एक शक्ति श्रृंखला अभिसरण करती है। x के अन्य मान जिनके लिए घात श्रृंखला अभिसरण करती है, हमेशा c पर केंद्रित एक खुले अंतराल का रूप ले लेंगे। अर्थात्, एक मान 0≤ R ≤ होगा, जैसे कि प्रत्येक x संतोषजनक |x-c|≤ R के लिए, शक्ति श्रृंखला अभिसारी है और प्रत्येक x संतोषजनक |x-c|> R के लिए, शक्ति श्रृंखला भिन्न है। इस मान R को घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है (R कोई वास्तविक मान या धनात्मक अनंत ले सकता है)।

पावर श्रृंखला को निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके जोड़ा, घटाया, गुणा और विभाजित किया जा सकता है। दो शक्ति श्रृंखला पर विचार करें:

।

फिर,

अर्थात समान पदों को एक साथ जोड़ा या घटाया जाता है। इसके अलावा, पहचान का उपयोग करके दो शक्ति श्रृंखलाओं को गुणा और विभाजित करना संभव है,

टेलर सीरीज क्या है?

टेलर श्रृंखला को एक फ़ंक्शन f (x) के लिए परिभाषित किया गया है जो एक अंतराल पर अपरिमित रूप से अवकलनीय है। मान लीजिए f (x) c पर केन्द्रित अंतराल पर अवकलनीय है। फिर घात श्रृंखला जोद्वारा दी गई है

फ़ंक्शन f (x) के बारे में c का टेलर श्रृंखला विस्तार कहलाता है। (यहाँ f⁽ⁿ⁾ (c) n^{th व्युत्पन्न को x=c पर निरूपित करें)। संख्यात्मक विश्लेषण में, इस अनंत विस्तार में शब्दों की एक सीमित संख्या का उपयोग उन बिंदुओं पर मूल्यों की गणना में किया जाता है जहां श्रृंखला मूल फ़ंक्शन में अभिसरण होती है।}

एक फ़ंक्शन f (x) को अंतराल (a, b) में विश्लेषणात्मक कहा जाता है, यदि प्रत्येक x (a, b) के लिए, f (x) की टेलर श्रृंखला फ़ंक्शन f (एक्स)। उदाहरण के लिए, 1/(1-x) (-1, 1) पर विश्लेषणात्मक है, क्योंकि इसके टेलर विस्तार 1+x+x²+….+ x ^{+… उस अंतराल पर फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है, और e}x ^{हर जगह विश्लेषणात्मक है, क्योंकि टेलर श्रृंखला e}x ^e में परिवर्तित हो जाती है। x ^{प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए।}