लघुगणक और घातांक के बीच का अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

लघुगणक बनाम घातांक | एक्सपोनेंशियल फंक्शन बनाम लॉगरिदमिक फंक्शन

फ़ंक्शन गणितीय वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक हैं, जो गणित के लगभग सभी उपक्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। जैसा कि उनके नाम से पता चलता है कि एक्सपोनेंशियल फंक्शन और लॉगरिदमिक फंक्शन दोनों दो विशेष फंक्शन हैं।

एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच इस तरह से परिभाषित एक संबंध है कि पहले सेट में प्रत्येक तत्व के लिए, दूसरे सेट में इसके अनुरूप मान अद्वितीय है। मान लीजिए ƒ समुच्चय A से समुच्चय B में परिभाषित एक फलन है। फिर प्रत्येक x A के लिए, प्रतीक ƒ(x) सेट B में अद्वितीय मान को दर्शाता है जो x के संगत है।इसे के अंतर्गत x का प्रतिबिम्ब कहते हैं। इसलिए, A से B में संबंध एक फलन है, यदि और केवल यदि, प्रत्येक x A और y ϵ A के लिए, यदि x=y तो ƒ(x)=ƒ(y)। समुच्चय A को फलन का प्रांत कहा जाता है, और यह वह समुच्चय है जिसमें फलन परिभाषित होता है।

घातांकीय कार्य क्या है?

घातांक फलन (x)=e^x द्वारा दिया गया फलन है, जहां e=lim(1 + 1/n) (≈ 2.718…) और एक अनुवांशिक अपरिमेय संख्या है। फ़ंक्शन की विशेषताओं में से एक यह है कि फ़ंक्शन का व्युत्पन्न स्वयं के बराबर है; यानी जब y=e^x, dy/dx=e^x साथ ही, फलन हर जगह निरंतर बढ़ने वाला फलन होता है जिसमें x-अक्ष एक स्पर्शोन्मुख के रूप में होता है। इसलिए, फ़ंक्शन एक-से-एक भी है। प्रत्येक x ϵ R के लिए, हमारे पास वह e^x> 0 है, और यह दिखाया जा सकता है कि यह R पर है ⁺ साथ ही, यह मूल पहचान का अनुसरण करता है ई^x+y=ई^xई^y और ई⁰ =1. फ़ंक्शन को 1 + x/1 द्वारा दिए गए श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है! + x²/2! + एक्स³/3! +… + एक्स^{/एन! + …}

लॉगरिदमिक फंक्शन क्या है?

लॉगरिदमिक फंक्शन एक्सपोनेंशियल फंक्शन का विलोम होता है। चूँकि, घातांकीय फलन एक-से-एक है और R ⁺ पर है, एक फलन g को धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से g(y) द्वारा दी गई वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित किया जा सकता है।)=x, यदि और केवल यदि, y=e^x इस फलन g को लघुगणकीय फलन कहा जाता है या सामान्यतया प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है। इसे g(x)=log e^{x=ln x द्वारा दर्शाया जाता है। चूँकि यह घातांक फलन का व्युत्क्रम है, यदि हम रेखा y=x पर घातांकीय फलन के ग्राफ का प्रतिबिंब लेते हैं, तो हमारे पास लघुगणक फलन का आलेख होगा। इस प्रकार, फलन y-अक्ष के लिए स्पर्शोन्मुख है।}

लघुगणक फलन कुछ बुनियादी नियमों का पालन करता है जिनमें से ln xy=ln x + ln y, ln x/y=ln x - ln y और ln xy=y ln x सबसे महत्वपूर्ण हैं। यह भी एक बढ़ता हुआ कार्य है, और यह हर जगह निरंतर है। इसलिए, यह भी एक-से-एक है।यह दिखाया जा सकता है कि यह R पर है।

घातांकीय फलन और लघुगणकीय फलन में क्या अंतर है?

• घातांकीय फलन ƒ(x)=e^{x द्वारा दिया जाता है, जबकि लघुगणकीय फलन g(x)=ln x द्वारा दिया जाता है, और पूर्व का विलोम होता है बाद वाला।}

• घातांक फ़ंक्शन का डोमेन वास्तविक संख्याओं का एक सेट है, लेकिन लॉगरिदमिक फ़ंक्शन का डोमेन सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक सेट है।

• घातांकीय फलन का परिसर धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है, लेकिन लघुगणकीय फलन का परिसर वास्तविक संख्याओं का एक समूह होता है।