रैखिक समीकरण और अरेखीय समीकरण के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

रैखिक समीकरण बनाम अरेखीय समीकरण

गणित में, बीजीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं, जो बहुपदों का उपयोग करके बनाए जाते हैं। स्पष्ट रूप से लिखे जाने पर समीकरण P(x)=0 के रूप में होंगे, जहाँ x n अज्ञात चरों का एक सदिश है और P एक बहुपद है। उदाहरण के लिए, P(x, y)=4x⁵ + xy³ + y + 10=0 स्पष्ट रूप से लिखे गए दो चरों में एक बीजीय समीकरण है. साथ ही, (x+y)³ =3x²y – 3zy⁴ एक बीजीय समीकरण है, लेकिन निहित रूप में और यह रूप लेगा Q(x, y, z)=x³ + y³ + 3xy ² +3zy^{4=0, एक बार स्पष्ट रूप से लिखा गया।}

बीजीय समीकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता इसकी डिग्री है। इसे समीकरण में आने वाले पदों की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि किसी पद में दो या दो से अधिक चर हों, तो प्रत्येक चर के घातांकों के योग को पद का घात माना जाएगा। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अनुसार P(x, y)=0 डिग्री 5 का है, जबकि Q(x, y, z)=0 डिग्री 5 का है।

रैखिक समीकरण और अरेखीय समीकरण बीजीय समीकरणों के समुच्चय पर परिभाषित दो-विभाजन हैं। समीकरण की डिग्री वह कारक है जो उन्हें एक दूसरे से अलग करती है।

एक रैखिक समीकरण क्या है?

एक रैखिक समीकरण डिग्री 1 का बीजीय समीकरण है। उदाहरण के लिए, 4x + 5=0 एक चर का रैखिक समीकरण है। x + y + 5z=0 और 4x=3w + 5y + 7z क्रमशः 3 और 4 चर के रैखिक समीकरण हैं। सामान्य तौर पर, n चर का एक रैखिक समीकरण रूप लेगा m₁x₁ + m₂x 2 _{+…+ म}n-1_xn-1 _{+ मीटर}n x_n =ख.यहाँ, x_i अज्ञात चर हैं, m_i's और b वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ प्रत्येक m_i शून्य नहीं है।

ऐसा समीकरण n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक हाइपर प्लेन का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष रूप से, एक दो चर रैखिक समीकरण कार्तीय तल में एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है और एक तीन चर रैखिक समीकरण यूक्लिडियन 3-स्पेस पर एक विमान का प्रतिनिधित्व करता है।

एक अरेखीय समीकरण क्या है?

एक द्विघात समीकरण एक बीजीय समीकरण है, जो रैखिक नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक गैर-रेखीय समीकरण डिग्री 2 या उच्चतर का बीजीय समीकरण है। x² + 3x + 2=0 एक एकल चर अरेखीय समीकरण है। x² + y³+ 3xy=4 और 8yzx² + y²+ 2z^{2 + x + y + z=4 क्रमशः 3 और 4 चर के गैर-रेखीय समीकरणों के उदाहरण हैं।}

सेकेंड डिग्री नॉनलाइनियर समीकरण को द्विघात समीकरण कहा जाता है। यदि घात 3 है, तो इसे घन समीकरण कहते हैं।घात 4 और घात 5 के समीकरणों को क्रमशः चतुर्थक और पंचक समीकरण कहा जाता है। यह साबित हो चुका है कि डिग्री 5 के किसी भी गैर-रेखीय समीकरण को हल करने के लिए कोई विश्लेषणात्मक विधि मौजूद नहीं है, और यह किसी भी उच्च डिग्री के लिए भी सच है। सॉल्व करने योग्य अरैखिक समीकरण हाइपर सतहों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो हाइपर प्लेन नहीं हैं।

रैखिक समीकरण और अरेखीय समीकरण में क्या अंतर है?

• एक रैखिक समीकरण डिग्री 1 का बीजगणितीय समीकरण है, लेकिन एक गैर-रेखीय समीकरण डिग्री 2 या उच्चतर का बीजगणितीय समीकरण है।

• भले ही कोई भी रैखिक समीकरण विश्लेषणात्मक रूप से हल करने योग्य हो, गैर-रेखीय समीकरणों में ऐसा नहीं है।

• एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में, एन-वैरिएबल लीनियर इक्वेशन का सॉल्यूशन स्पेस एक हाइपर प्लेन होता है, जबकि एन-वेरिएबल नॉनलाइनियर इक्वेशन का हाइपर सरफेस होता है, जो हाइपर प्लेन नहीं होता है। (क्वाड्रिक्स, क्यूबिक सरफेस और आदि)