रैखिक समीकरण बनाम द्विघात समीकरण
गणित में, बीजीय समीकरण ऐसे समीकरण होते हैं जो बहुपदों का उपयोग करके बनाए जाते हैं। स्पष्ट रूप से लिखे जाने पर समीकरण P(x)=0 के रूप में होंगे, जहाँ x n अज्ञात चरों का एक सदिश है और P एक बहुपद है। उदाहरण के लिए, P(x, y)=x4 + y3 + x2y + 5=0 स्पष्ट रूप से लिखे गए दो चरों का एक बीजीय समीकरण है। साथ ही, (x+y)3=3x2y – 3zy4 एक बीजीय समीकरण है, लेकिन निहित रूप में। यह Q(x, y, z)=x3 + y3 + 3xy2 का रूप लेगा। +3zy4=0, एक बार स्पष्ट रूप से लिखा गया।
बीजीय समीकरण की एक महत्वपूर्ण विशेषता इसकी डिग्री है। इसे समीकरण में आने वाले पदों की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि किसी पद में दो या दो से अधिक चर हों, तो प्रत्येक चर के घातांकों के योग को पद का घात माना जाएगा। ध्यान दें कि इस परिभाषा के अनुसार P(x, y)=0 डिग्री 4 का है जबकि Q(x, y, z)=0 डिग्री 5 का है।
रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण दो अलग-अलग प्रकार के बीजीय समीकरण हैं। समीकरण की डिग्री वह कारक है जो उन्हें शेष बीजीय समीकरणों से अलग करती है।
एक रैखिक समीकरण क्या है?
एक रैखिक समीकरण डिग्री 1 का बीजीय समीकरण है। उदाहरण के लिए, 4x + 5=0 एक चर का रैखिक समीकरण है। x + y + 5z=0 और 4x=3w + 5y + 7z क्रमशः 3 और 4 चर के रैखिक समीकरण हैं। सामान्य तौर पर, n चर का एक रैखिक समीकरण रूप लेगा m1x1+m 2x2+…+ मीn-1x n-1+ mnxn=बी.यहाँ, xi अज्ञात चर हैं, mi's और b वास्तविक संख्याएँ हैं जहाँ प्रत्येक mi शून्य नहीं है।
ऐसा समीकरण n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक हाइपर प्लेन का प्रतिनिधित्व करता है। विशेष रूप से, एक दो चर रैखिक समीकरण कार्तीय तल में एक सीधी रेखा का प्रतिनिधित्व करता है और एक तीन चर रैखिक समीकरण यूक्लिडियन 3-स्पेस पर एक विमान का प्रतिनिधित्व करता है।
द्विघात समीकरण क्या है?
एक द्विघात समीकरण दूसरी डिग्री का बीजीय समीकरण है। x2 + 3x + 2=0 एकल चर द्विघात समीकरण है। x2 + y2 + 3x=4 और 4x2 + y2+ 2z2 + x + y + z=4 क्रमशः 2 और 3 चर वाले द्विघात समीकरणों के उदाहरण हैं।
एकल चर मामले में, द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है ax2 + bx + c=0. जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं जिनमें से 'ए' गैर-शून्य है। विभेदक=(b2 – 4ac) द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति को निर्धारित करता है।समीकरण के मूल वास्तविक भिन्न, वास्तविक समान और जटिल होंगे क्योंकि धनात्मक, शून्य और ऋणात्मक है। समीकरण की जड़ों को सूत्र x=(- b ±) / 2a का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है।
दो चर मामलों में, सामान्य रूप होगा ax2 + by2 + cxy + dx + ex + f=0, और यह कार्तीय तल में एक शंकु (परवलय, अतिपरवलय या दीर्घवृत्त) को निरूपित करता है। उच्च आयामों में, इस प्रकार के समीकरण अति-सतहों को दर्शाते हैं जिन्हें क्वाड्रिक्स के रूप में जाना जाता है।
रैखिक और द्विघात समीकरणों में क्या अंतर है?
• एक रैखिक समीकरण डिग्री 1 का बीजीय समीकरण है, जबकि द्विघात समीकरण 2 डिग्री का बीजीय समीकरण है।
• एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में, एन-वैरिएबल लीनियर इक्वेशन का सॉल्यूशन स्पेस हाइपर प्लेन होता है जबकि एन-वैरिएबल क्वाड्रैटिक इक्वेशन का क्वाड्रिक सतह होता है।
