डिफरेंशियल इक्वेशन बनाम डिफरेंशियल इक्वेशन
एक प्राकृतिक घटना को कई स्वतंत्र चर और मापदंडों के कार्यों द्वारा गणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। विशेष रूप से जब वे स्थानिक स्थिति और समय के एक फलन द्वारा व्यक्त किए जाते हैं तो इसका परिणाम समीकरणों में होता है। फ़ंक्शन स्वतंत्र चर या मापदंडों में परिवर्तन के साथ बदल सकता है। फ़ंक्शन में होने वाला एक असीम परिवर्तन जब इसके एक चर को बदल दिया जाता है, उस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न कहा जाता है।
डिफरेंशियल इक्वेशन कोई भी इक्वेशन होता है जिसमें किसी फंक्शन के व्युत्पन्न के साथ-साथ फंक्शन भी शामिल होता है।न्यूटन के गति के दूसरे नियम का एक सरल अवकल समीकरण है। यदि m द्रव्यमान की कोई वस्तु त्वरण 'a' से गतिमान है और उस पर F बल लगाया जा रहा है, तो न्यूटन का द्वितीय नियम हमें बताता है कि F=ma। यहां फिर से, 'ए' समय के साथ बदलता रहता है, हम 'ए' को फिर से लिख सकते हैं; ए=डीवी / डीटी; वी वेग है। वेग स्थान और समय का फलन है, अर्थात v=ds/dt; इसलिए 'a'=d2s/dt2
इन्हें ध्यान में रखते हुए हम न्यूटन के दूसरे नियम को अवकल समीकरण के रूप में फिर से लिख सकते हैं;
'F' v और t के एक फंक्शन के रूप में - F(v, t)=mdv/dt, या
'F' s और t के एक फलन के रूप में – F(s, ds/dt, t)=m d2s/dt2
डिफरेंशियल इक्वेशन दो तरह के होते हैं; साधारण अंतर समीकरण, ओडीई द्वारा संक्षिप्त या आंशिक अंतर समीकरण, पीडीई द्वारा संक्षिप्त। साधारण अवकल समीकरण में साधारण अवकलज (केवल एक चर के व्युत्पन्न) होंगे। आंशिक अवकल समीकरण में अवकलज अवकलज (एक से अधिक चरों के अवकलज) होंगे।
उदा. F=m d2s/dt2 एक ODE है, जबकि α2 d 2u/dx2=डु/डीटी एक पीडीई है, इसमें टी और एक्स के डेरिवेटिव हैं।
डिफरेंस इक्वेशन डिफरेंशियल इक्वेशन के समान है लेकिन हम इसे अलग-अलग संदर्भ में देखते हैं। अवकल समीकरणों में, स्वतंत्र चर जैसे समय को सतत समय प्रणाली के संदर्भ में माना जाता है। असतत समय प्रणाली में, हम फ़ंक्शन को अंतर समीकरण कहते हैं।
अंतर समीकरण अंतर का एक फलन है। स्वतंत्र चरों में अंतर तीन प्रकार के होते हैं; संख्या का क्रम, असतत गतिशील प्रणाली और पुनरावृत्त कार्य।
संख्याओं के क्रम में अनुक्रम में प्रत्येक संख्या को अनुक्रम में पिछली संख्याओं से जोड़ने के लिए एक नियम का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से परिवर्तन उत्पन्न होता है।
एक असतत गतिशील प्रणाली में अंतर समीकरण कुछ असतत इनपुट सिग्नल लेता है और आउटपुट सिग्नल उत्पन्न करता है।
अंतर समीकरण पुनरावृत्त फ़ंक्शन के लिए एक पुनरावृत्त मानचित्र है।जैसे, y0, f(y0), f(f (y0)), f(f(f(y0))),….एक पुनरावृत्त फलन का क्रम है। f(y0) y0 का पहला पुनरावृति है। k-वें पुनरावृति को fk द्वारा निरूपित किया जाएगा (y0).
