रैखिक बनाम अरेखीय विभेदक समीकरण
किसी अज्ञात चर के कम से कम एक अवकल गुणांक या अवकलज वाले समीकरण को अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है। एक अंतर समीकरण या तो रैखिक या गैर-रैखिक हो सकता है। इस लेख का दायरा यह बताना है कि रैखिक अंतर समीकरण क्या है, गैर-रेखीय अंतर समीकरण क्या है, और रैखिक और गैर-रेखीय अंतर समीकरणों में क्या अंतर है।
18वीं शताब्दी में न्यूटन और लाइबनिट्ज जैसे गणितज्ञों द्वारा कलन के विकास के बाद से, अंतर समीकरण ने गणित की कहानी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।डिफरेंशियल इक्वेशन्स का गणित में बहुत महत्व है क्योंकि उनके अनुप्रयोगों की सीमा होती है। दुनिया में किसी भी परिदृश्य या घटना की व्याख्या करने के लिए विकसित किए गए हर मॉडल के दिल में अंतर समीकरण होते हैं, चाहे वह भौतिकी, इंजीनियरिंग, रसायन विज्ञान, सांख्यिकी, वित्तीय विश्लेषण या जीव विज्ञान में हो (सूची अंतहीन है)। वास्तव में, जब तक कलन एक स्थापित सिद्धांत नहीं बन जाता, तब तक प्रकृति में दिलचस्प समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए उचित गणितीय उपकरण उपलब्ध नहीं थे।
कलन के विशिष्ट अनुप्रयोग से परिणामी समीकरण बहुत जटिल हो सकते हैं और कभी-कभी हल करने योग्य नहीं होते हैं। हालाँकि, कुछ ऐसे भी हैं जिन्हें हम हल कर सकते हैं, लेकिन एक जैसे और भ्रमित करने वाले लग सकते हैं। इसलिए, आसान पहचान के लिए अंतर समीकरणों को उनके गणितीय व्यवहार द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। रैखिक और अरैखिक एक ऐसा वर्गीकरण है। रैखिक और अरेखीय अंतर समीकरणों के बीच अंतर की पहचान करना महत्वपूर्ण है।
एक रैखिक अंतर समीकरण क्या है?
मान लीजिए कि f: X→Y और f(x)=y, अज्ञात फलन y और उसके अवकलज के अरेखीय पदों के बिना एक अवकल समीकरण को रैखिक अवकल समीकरण के रूप में जाना जाता है।
यह शर्त लगाता है कि y में y2, y3, … और डेरिवेटिव के गुणज जैसे उच्च सूचकांक शब्द नहीं हो सकते हैं के रूप में
इसमें गैर रेखीय शब्द भी शामिल नहीं हो सकते हैं जैसे Sin y, e y ^-2, या ln y । यह रूप लेता है,
जहाँ y और g x के फलन हैं। यह समीकरण n कोटि का अवकल समीकरण है, जो उच्चतम कोटि के अवकलज का सूचकांक है।
एक रैखिक अंतर समीकरण में, अंतर ऑपरेटर एक रैखिक ऑपरेटर होता है और समाधान एक वेक्टर स्थान बनाते हैं। समाधान सेट की रैखिक प्रकृति के परिणामस्वरूप, समाधानों का एक रैखिक संयोजन भी अंतर समीकरण का समाधान है। अर्थात्, यदि y1 और y2 अवकल समीकरण के हल हैं, तो C1 y 1+ C2 y2 भी एक समाधान है।
समीकरण की रैखिकता वर्गीकरण का केवल एक पैरामीटर है, और इसे आगे समरूप या गैर-समरूप और साधारण या आंशिक अंतर समीकरणों में वर्गीकृत किया जा सकता है।यदि फलन g=0 है तो समीकरण एक रैखिक समांगी अवकल समीकरण है। यदि f दो या अधिक स्वतंत्र चरों (f: X, T→Y) और f(x, t)=y का एक फलन है, तो समीकरण एक रैखिक आंशिक अवकल समीकरण है।
डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए सॉल्यूशन मेथड डिफरेंशियल इक्वेशन के प्रकार और गुणांक पर निर्भर है। सबसे आसान मामला तब उत्पन्न होता है जब गुणांक स्थिर होते हैं। इस मामले के लिए उत्कृष्ट उदाहरण न्यूटन का गति का दूसरा नियम और इसके विभिन्न अनुप्रयोग हैं। न्यूटन का दूसरा नियम स्थिर गुणांक के साथ एक दूसरे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का निर्माण करता है।
एक अरेखीय विभेदक समीकरण क्या है?
ऐसे समीकरण जिनमें अरैखिक पद होते हैं, अरैखिक अवकल समीकरण कहलाते हैं।
उपरोक्त सभी अरेखीय अंतर समीकरण हैं। अरैखिक अवकल समीकरणों को हल करना कठिन होता है, इसलिए एक सही हल प्राप्त करने के लिए गहन अध्ययन की आवश्यकता होती है। आंशिक अवकल समीकरणों के मामले में, अधिकांश समीकरणों का कोई सामान्य हल नहीं होता है। इसलिए, प्रत्येक समीकरण को स्वतंत्र रूप से माना जाना चाहिए।
नेवियर-स्टोक्स समीकरण और द्रव गतिकी में यूलर का समीकरण, आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के क्षेत्र समीकरण प्रसिद्ध गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण हैं। कभी-कभी एक चर प्रणाली के लिए लैग्रेंज समीकरण के आवेदन के परिणामस्वरूप गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली हो सकती है।
रैखिक और अरेखीय विभेदक समीकरणों में क्या अंतर है?
• एक अवकल समीकरण, जिसमें केवल अज्ञात या आश्रित चर और उसके व्युत्पन्न के रैखिक पद होते हैं, एक रैखिक अंतर समीकरण के रूप में जाना जाता है। इसमें 1 से अधिक के सूचकांक के आश्रित चर के साथ कोई पद नहीं है और इसमें इसके कोई भी डेरिवेटिव शामिल नहीं हैं। इसमें गैर-रेखीय कार्य नहीं हो सकते हैं जैसे कि त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, और आश्रित चर के संबंध में लघुगणकीय कार्य। कोई भी अवकल समीकरण जिसमें उपर्युक्त पद शामिल हैं, एक अरेखीय अवकल समीकरण है।
• रैखिक अंतर समीकरणों के समाधान वेक्टर स्पेस बनाते हैं और डिफरेंशियल ऑपरेटर भी वेक्टर स्पेस में एक रैखिक ऑपरेटर होता है।
• रैखिक अवकल समीकरणों के समाधान अपेक्षाकृत आसान होते हैं और सामान्य समाधान मौजूद होते हैं। गैर-रेखीय समीकरणों के लिए, ज्यादातर मामलों में, सामान्य समाधान मौजूद नहीं होता है और समाधान समस्या विशिष्ट हो सकता है। यह रैखिक समीकरणों की तुलना में समाधान को अधिक कठिन बनाता है।
