समानांतर चतुर्भुज बनाम समलम्बाकार
समांतर चतुर्भुज और समलम्ब (या समलम्ब) दो उत्तल चतुर्भुज हैं। हालांकि ये चतुर्भुज हैं, समलम्ब चतुर्भुज की ज्यामिति समांतर चतुर्भुजों से काफी भिन्न होती है।
समांतर चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज को चार भुजाओं वाली ज्यामितीय आकृति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। अधिक सटीक रूप से यह एक चतुर्भुज है जिसमें समानांतर पक्षों के दो जोड़े होते हैं। यह समांतर प्रकृति समांतर चतुर्भुजों को कई ज्यामितीय विशेषताएँ देती है।
एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि निम्नलिखित ज्यामितीय विशेषताएँ पाई जाती हैं।
• विरोधी पक्षों के दो जोड़े लंबाई में बराबर हैं। (एबी=डीसी, एडी=बीसी)
• विपरीत कोणों के दो युग्म आकार में बराबर हैं। ([लेटेक्स]डी\हैट{ए}बी=बी\हैट{सी}डी, ए\हैट{डी}सी=ए\हैट{बी}सी[/लेटेक्स])
• यदि आसन्न कोण पूरक हैं [लेटेक्स]डी\हैट{ए}बी + ए\हैट{डी}सी=ए\हैट{डी}सी + बी\हैट{सी}डी=बी\हैट {सी}डी + ए\हैट{बी}सी=ए\हैट{बी}सी + डी\हैट{ए}बी=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• पक्षों का एक युग्म, जो एक दूसरे का विरोध कर रहा है, समानांतर और लंबाई में बराबर है। (एबी=डीसी और एबी∥डीसी)
• विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (AO=OC, BO=OD)
• प्रत्येक विकर्ण चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। (∆ADB BCD, ∆ABC ADC)
आगे, भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसे कभी-कभी समांतर चतुर्भुज कानून के रूप में जाना जाता है और भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग हैं। (एबी2 + बीसी2 + सीडी2 + डीए2=एसी2 + बीडी2)
उपरोक्त विशेषताओं में से प्रत्येक को गुणों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, एक बार यह स्थापित हो जाने पर कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा की लंबाई और विपरीत भुजा की ऊंचाई के गुणनफल से की जा सकती है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलकहा जा सकता है
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार × ऊँचाई=AB×h
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल व्यक्तिगत समांतर चतुर्भुज के आकार से स्वतंत्र होता है। यह केवल आधार की लंबाई और लंबवत ऊंचाई पर निर्भर है।
यदि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को दो सदिशों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, तो क्षेत्र दो आसन्न सदिशों के सदिश गुणनफल (क्रॉस उत्पाद) के परिमाण से प्राप्त किया जा सकता है।
यदि भुजा AB और AD को क्रमशः सदिश ([लेटेक्स]\overrightarrow{AB}[/latex]) और ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसका क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज [latex]\left |. द्वारा दिया गया है \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], जहां α [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] और [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] के बीच का कोण है।
समांतर चतुर्भुज के कुछ उन्नत गुण निम्नलिखित हैं;
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके किसी भी विकर्ण द्वारा बनाए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्यबिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा से आधे में विभाजित होता है।
• कोई भी गैर-पतित एफ़िन परिवर्तन एक समांतर चतुर्भुज को दूसरे समांतर चतुर्भुज में ले जाता है
• एक समांतर चतुर्भुज में क्रम 2 की घूर्णन सममिति होती है
• समांतर चतुर्भुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र होता है
चतुर्भुज
ट्रेपेज़ॉइड (या ब्रिटिश अंग्रेजी में ट्रेपेज़ियम) एक उत्तल चतुर्भुज है जहाँ कम से कम दो भुजाएँ समानांतर और लंबाई में असमान होती हैं। समलम्ब चतुर्भुज के समानांतर पक्षों को आधार के रूप में जाना जाता है और अन्य दो पक्षों को पैर कहा जाता है।
ट्रैपेज़ॉइड की मुख्य विशेषताएं निम्नलिखित हैं;
• यदि आसन्न कोण समलम्ब चतुर्भुज के एक ही आधार पर नहीं हैं, तो वे संपूरक कोण हैं। यानी वे 180° तक जोड़ते हैं ([लेटेक्स]B\hat{A}D+A\hat{D}C=A\hat{B}C+B\hat{C}D=180^{circ}[/लेटेक्स])
• समलम्ब चतुर्भुज के दोनों विकर्ण समान अनुपात में प्रतिच्छेद करते हैं (विकर्णों के वर्गों के बीच का अनुपात बराबर होता है)।
• यदि a और b आधार हैं और c, d पैर हैं, तो विकर्णों की लंबाईद्वारा दी गई है
[लेटेक्स]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}[/latex]
और
[लेटेक्स]\sqrt{frac{ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bc^{2}}{b-a}}[/latex]
समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है
चतुर्भुज का क्षेत्रफल=[लेटेक्स]\frac{a+b}{2}\times h[/latex]
समानांतर चतुर्भुज और समलंब चतुर्भुज में क्या अंतर है?
• समांतर चतुर्भुज और समलम्ब चतुर्भुज दोनों उत्तल चतुर्भुज हैं।
• समांतर चतुर्भुज में, विरोधी पक्षों के दोनों जोड़े समानांतर होते हैं, जबकि समलम्बाकार में, केवल एक जोड़ा समानांतर होता है।
• समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (1:1 अनुपात) जबकि समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण वर्गों के बीच एक स्थिर अनुपात के साथ प्रतिच्छेद करते हैं।
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ऊंचाई और आधार पर निर्भर करता है जबकि समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ऊंचाई और मध्य खंड पर निर्भर करता है।
• एक समांतर चतुर्भुज में एक विकर्ण द्वारा गठित दो त्रिभुज हमेशा सर्वांगसम होते हैं जबकि समलम्ब चतुर्भुज के त्रिभुज या तो सर्वांगसम हो सकते हैं या नहीं।
