समांतर चतुर्भुज बनाम चतुर्भुज
चतुर्भुज और समांतर चतुर्भुज यूक्लिडियन ज्यामिति में पाए जाने वाले बहुभुज हैं। समांतर चतुर्भुज चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। चतुर्भुज या तो तलीय (2D) या 3 आयामी हो सकते हैं जबकि समांतर चतुर्भुज हमेशा समतल होते हैं।
चतुर्भुज
चतुर्भुज चार भुजाओं वाला एक बहुभुज है। इसके चार शीर्ष हैं, और आंतरिक कोणों का योग 3600 (2π rad) है। चतुर्भुज को स्व-प्रतिच्छेदन और सरल चतुर्भुज श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है। स्व-प्रतिच्छेद करने वाले चतुर्भुजों में दो या दो से अधिक भुजाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, और छोटी ज्यामितीय आकृतियाँ (जैसे कि चतुर्भुज के अंदर त्रिभुज बनते हैं)।
सरल चतुर्भुज को भी उत्तल और अवतल चतुर्भुज में विभाजित किया जाता है। अवतल चतुर्भुजों में आसन्न भुजाएँ होती हैं जो आकृति के अंदर प्रतिवर्त कोण बनाती हैं। सरल चतुर्भुज जिनमें आंतरिक रूप से प्रतिवर्ती कोण नहीं होते हैं, उत्तल चतुर्भुज होते हैं। उत्तल चतुर्भुज में हमेशा टेस्सेलेशन हो सकते हैं।
प्रारंभिक स्तरों पर चतुर्भुजों की ज्यामिति का एक प्रमुख भाग उत्तल चतुर्भुज से संबंधित है। कुछ चतुर्भुज हमें प्राथमिक विद्यालयों के दिनों से बहुत परिचित हैं। विभिन्न उत्तल चतुर्भुजों को दर्शाने वाला चित्र निम्नलिखित है।
समांतर चतुर्भुज
समांतर चतुर्भुज को चार भुजाओं वाली ज्यामितीय आकृति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें विपरीत भुजाएँ एक दूसरे के समानांतर होती हैं। अधिक सटीक रूप से यह एक चतुर्भुज है जिसमें समानांतर पक्षों के दो जोड़े होते हैं। यह समांतर प्रकृति समांतर चतुर्भुजों को कई ज्यामितीय विशेषताएँ देती है।
एक चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है यदि निम्नलिखित ज्यामितीय विशेषताएँ पाई जाती हैं।
• विरोधी पक्षों के दो जोड़े लंबाई में बराबर हैं। (एबी=डीसी, एडी=बीसी)
• विपरीत कोणों के दो युग्म आकार में बराबर हैं। ([लेटेक्स]डी\हैट{ए}बी=बी\हैट{सी}डी, ए\हैट{डी}सी=ए\हैट{बी}सी[/लेटेक्स])
• यदि आसन्न कोण पूरक हैं [लेटेक्स]डी\हैट{ए}बी + ए\हैट{डी}सी=ए\हैट{डी}सी + बी\हैट{सी}डी=बी\हैट {सी}डी + ए\हैट{बी}सी=ए\हैट{बी}सी + डी\हैट{ए}बी=180^{circ}=\pi rad[/latex]
• पक्षों का एक युग्म, जो एक दूसरे का विरोध कर रहा है, समानांतर और लंबाई में बराबर है। (एबी=डीसी और एबी∥डीसी)
• विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं (AO=OC, BO=OD)
• प्रत्येक विकर्ण चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है। (∆ADB BCD, ∆ABC ADC)
आगे, भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।इसे कभी-कभी समांतर चतुर्भुज कानून के रूप में जाना जाता है और भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग हैं। (एबी2 + बीसी2 + सीडी2 + डीए2=एसी2 + बीडी2)
उपरोक्त विशेषताओं में से प्रत्येक को गुणों के रूप में उपयोग किया जा सकता है, एक बार यह स्थापित हो जाने पर कि चतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है।
समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना एक भुजा की लंबाई और विपरीत भुजा की ऊंचाई के गुणनफल से की जा सकती है। इसलिए, समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफलकहा जा सकता है
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल=आधार × ऊँचाई=AB×h
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल व्यक्तिगत समांतर चतुर्भुज के आकार से स्वतंत्र होता है। यह केवल आधार की लंबाई और लंबवत ऊंचाई पर निर्भर है।
यदि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं को दो सदिशों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, तो क्षेत्र दो आसन्न सदिशों के सदिश गुणनफल (क्रॉस उत्पाद) के परिमाण से प्राप्त किया जा सकता है।
यदि भुजा AB और AD को क्रमशः सदिश ([लेटेक्स]\overrightarrow{AB}[/latex]) और ([latex]\overrightarrow{AD}[/latex]) द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसका क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज [latex]\left |. द्वारा दिया गया है \overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AD} right |=AB\cdot AD \sin \alpha [/latex], जहां α [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] और [latex]\overrightarrow{AD}[/latex] के बीच का कोण है।
समांतर चतुर्भुज के कुछ उन्नत गुण निम्नलिखित हैं;
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके किसी भी विकर्ण द्वारा बनाए गए त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
• समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मध्यबिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा से आधे में विभाजित होता है।
• कोई भी गैर-पतित एफ़िन परिवर्तन एक समांतर चतुर्भुज को दूसरे समांतर चतुर्भुज में ले जाता है
• एक समांतर चतुर्भुज में क्रम 2 की घूर्णन सममिति होती है
• समांतर चतुर्भुज के किसी भी आंतरिक बिंदु से भुजाओं तक की दूरी का योग बिंदु के स्थान से स्वतंत्र होता है
समांतर चतुर्भुज और चतुर्भुज में क्या अंतर है?
• चतुर्भुज चार भुजाओं वाले बहुभुज होते हैं (कभी-कभी चतुर्भुज कहलाते हैं) जबकि समांतर चतुर्भुज एक विशेष प्रकार का चतुर्भुज होता है।
• चतुर्भुजों की भुजाएं अलग-अलग तलों में हो सकती हैं (3d अंतरिक्ष में) जबकि समांतर चतुर्भुज की सभी भुजाएं एक ही तल पर स्थित होती हैं (प्लानर/2आयामी)।
• चतुर्भुज के आंतरिक कोण कोई भी मान (प्रतिवर्त कोण सहित) ले सकते हैं जैसे कि वे 3600 तक जोड़ते हैं। समांतर चतुर्भुज में अधिकतम कोण के रूप में केवल अधिक कोण हो सकते हैं।
• चतुर्भुज की चार भुजाएँ अलग-अलग लंबाई की हो सकती हैं जबकि समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ हमेशा एक दूसरे के समानांतर और लंबाई में बराबर होती हैं।
• कोई भी विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है, जबकि एक सामान्य चतुर्भुज के विकर्ण से बने त्रिभुज आवश्यक रूप से सर्वांगसम नहीं होते हैं।
