कार्डिनल बनाम ऑर्डिनल
हमारे दैनिक जीवन में भिन्न-भिन्न परिस्थितियों में संख्याओं का प्रयोग भिन्न-भिन्न रूप धारण कर सकता है। उदाहरण के लिए, जब हम वस्तुओं के संग्रह के आकार का पता लगाने के लिए गिनते हैं, तो हम उन्हें एक, दो, तीन, आदि के रूप में गिनते हैं। जब हम वस्तुओं की स्थिति का बोध कराने के लिए कुछ गिनना चाहते हैं, तो हम उन्हें पहले, दूसरे, तीसरे आदि के रूप में गिनते हैं। गिनती के पहले रूप में, संख्याओं को कार्डिनल नंबर कहा जाता है। गिनती के दूसरे रूप में, संख्याओं को क्रम संख्या माना जाता है। इस संदर्भ में, कार्डिनल और ऑर्डिनल अवधारणाएं पूरी तरह से भाषाविज्ञान का विषय हैं; कार्डिनल और ऑर्डिनल विशेषण हैं।
हालाँकि, गणित में अवधारणा का विस्तार सेट तक एक बहुत गहरा और व्यापक दृष्टिकोण प्रकट करता है और इसे सरल शब्दों में नहीं माना जा सकता है। इस लेख में, हम गणित में कार्डिनल और ऑर्डिनल नंबरों की मूलभूत अवधारणाओं को समझने की कोशिश करेंगे।
सेट थ्योरी में कार्डिनल और ऑर्डिनल नंबरों की औपचारिक परिभाषाएं दी गई हैं। परिभाषाएँ जटिल हैं और उन्हें सही अर्थों में समझने के लिए सेट थ्योरी में पृष्ठभूमि ज्ञान की आवश्यकता होती है। इसलिए, अवधारणाओं को ह्युरिस्टिक रूप से समझने के लिए, हम कुछ उदाहरणों की ओर रुख करेंगे।
दो सेट {1, 3, 6, 4, 5, 2} और {बस, कार, फेरी, ट्रेन, हवाई जहाज, हेलीकॉप्टर} पर विचार करें। प्रत्येक सेट तत्वों के एक सेट को सूचीबद्ध करता है, और यदि हम तत्वों की संख्या की गणना करते हैं तो यह स्पष्ट है कि प्रत्येक में समान संख्या में तत्व हैं, जो कि 6 है। इस निष्कर्ष पर पहुंचने पर हमने एक सेट का आकार लिया है और दूसरे की तुलना में एक का उपयोग किया है संख्या। ऐसी संख्या को कार्डिनल नंबर कहा जाता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक कार्डिनल संख्या एक संख्या है जिसका उपयोग हम परिमित सेटों के आकार की तुलना करने के लिए कर सकते हैं।
फिर से संख्याओं के पहले सेट को प्रत्येक तत्व के आकार को ध्यान में रखते हुए और उनकी तुलना करके आरोही क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है। आदेश देने की प्रक्रिया में, संख्याओं को कार्डिनल माना जाता है। इसी तरह, सभी अऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को एक समुच्चय में क्रमित किया जा सकता है; यानी {0, 1, 2, 3, 4, ….}। लेकिन इस मामले में, सेट का आकार अनंत हो जाता है, और इसे क्रमों के संदर्भ में देना संभव नहीं है। सेट का आकार देने के लिए आप कितनी भी बड़ी संख्या चुनें, फिर भी आपके द्वारा चुने गए सेट में से कुछ संख्याएँ बची रहेंगी और जो गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं।
इसलिए, गणितज्ञ इस अनंत कार्डिनल (जो पहला है) को एलेफ-0 के रूप में परिभाषित करते हैं, जिसे (हिब्रू वर्णमाला में पहला अक्षर) लिखा जाता है। औपचारिक रूप से क्रमसूचक संख्या एक सुव्यवस्थित सेट का क्रम प्रकार है। इसलिए, परिमित समुच्चयों की क्रमसूचक संख्या कार्डिनल संख्याओं द्वारा दी जा सकती है, लेकिन अनंत समुच्चयों के लिए क्रमसूचक अलेफ-0 जैसी पारमंत संख्याओं द्वारा दिया जाता है।
कार्डिनल और ऑर्डिनल नंबरों में क्या अंतर है?
• कार्डिनल नंबर एक संख्या है जिसे गिनने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, या एक सीमित आदेशित सेट का आकार देने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। सभी कार्डिनल नंबर ऑर्डिनल हैं।
• क्रमांक संख्याएं वे संख्याएं हैं जिनका उपयोग परिमित और अनंत क्रमित सेटों का आकार देने के लिए किया जाता है। परिमित क्रमित समुच्चयों का आकार सामान्य हिंदू-अरबी बीजगणितीय अंकों द्वारा दिया जाता है, और अनंत समुच्चय का आकार पारभासी संख्याओं द्वारा दिया जाता है।
