एडजॉइंट बनाम व्युत्क्रम मैट्रिक्स
आसन्न मैट्रिक्स और व्युत्क्रम मैट्रिक्स दोनों एक मैट्रिक्स पर रैखिक संचालन से प्राप्त होते हैं, और वे अलग-अलग गुणों के साथ दो अलग-अलग मैट्रिक्स होते हैं।
(शास्त्रीय) एडजॉइंट या एडजुगेट मैट्रिक्स के बारे में अधिक जानकारी
एडजॉइंट मैट्रिक्स, या एडजुगेट मैट्रिक्स, कॉफ़ैक्टर मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है। यदि A का सहकारक आव्यूह C है, तो A का सहायक आव्यूह C T द्वारा दिया जाता है। यानी adj(A)=C T.
सहकारक आव्यूह C=(-1)i+j M ij द्वारा दिया जाता है, जहां M ijijth तत्व का नाबालिग है।ith पंक्ति और jth कॉलम को हटाकर प्राप्त मैट्रिक्स के निर्धारक को ijth के माइनर के रूप में जाना जाता हैतत्व। [एजुगेट मैट्रिक्स की गणना करने के लिए, पहले प्रत्येक तत्व के नाबालिगों को ढूंढें, फिर कॉफ़ैक्टर मैट्रिक्स बनाएं, अंत में इसका स्थानान्तरण करने से एडजुगेट मैट्रिक्स मिलता है]।
एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए और जैकोबी के सूत्र द्वारा एक सारणिक के व्युत्पन्न को खोजने के लिए आसन्न का उपयोग किया जा सकता है। शब्द "एडजॉइंट" काफी पुराना है और अब इसका उपयोग मैट्रिक्स के जटिल संयुग्म के लिए किया जाता है। इसलिए, उचित शब्द सहायक मैट्रिक्स या सहायक मैट्रिक्स है।
उलटा मैट्रिक्स के बारे में अधिक
एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को एक मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक साथ गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यदि AB=BA=I है, तो B, A का प्रतिलोम आव्यूह है और A, B का प्रतिलोम आव्यूह है। इसलिए, यदि हम बी=ए -1 पर विचार करते हैं, तो एए -1 =ए -1 ए=मैं
किसी मैट्रिक्स के व्युत्क्रमणीय होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि A का सारणिक शून्य न हो।यानी | ए |=det(A) 0. एक मैट्रिक्स को उलटा, गैर-एकवचन, या गैर-अपक्षयी कहा जाता है यदि यह इस शर्त को पूरा करता है। यह इस प्रकार है कि A एक वर्ग मैट्रिक्स है और A -1 और A दोनों का आकार समान है।
मैट्रिक्स ए के व्युत्क्रम की गणना रैखिक बीजगणित में कई तरीकों से की जा सकती है जैसे गॉसियन एलिमिनेशन, आइगेंडेकंपोजीशन, चोल्स्की डीकंपोजिशन और कार्मर रूल। ब्लॉक व्युत्क्रम विधि और न्यूमैन श्रृंखला द्वारा एक मैट्रिक्स को उलटा भी किया जा सकता है।
क्रेमर का नियम एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को खोजने की एक विश्लेषणात्मक विधि प्रदान करता है, और गैर-विलक्षण स्थिति को परिणामों द्वारा भी समझाया जा सकता है। क्रैमर के नियम ए -1 =adj(A)/det(A) या adj(A)=A -1 det(A) द्वारा। इस परिणाम के मान्य होने के लिए, det(A) 0, इसलिए मैट्रिसेस व्युत्क्रमणीय हैं यदि और केवल यदि उपरोक्त शर्त पूरी होती है।
एडजॉइंट और इनवर्स मैट्रिसेस में क्या अंतर है?
• मैट्रिक्स का एडजुगेट या एडजॉइंट कॉफ़ेक्टर मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है, जबकि व्युत्क्रम मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स है जो एक साथ गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है।
• व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के लिए एडजुगेट मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है और मैन्युअल रूप से व्युत्क्रम खोजने के सामान्य तरीकों में से एक है।
• प्रत्येक मैट्रिक्स के लिए, एक सहायक मैट्रिक्स मौजूद है, लेकिन व्युत्क्रम मौजूद है यदि और केवल अगर निर्धारक गैर-शून्य है।
