स्थानांतरण बनाम उलटा मैट्रिक्स
ट्रांसपोज़ और व्युत्क्रम दो प्रकार के मैट्रिक्स हैं जिनमें विशेष गुण होते हैं जिनका सामना हम मैट्रिक्स बीजगणित में करते हैं। वे एक दूसरे से अलग हैं, और एक करीबी रिश्ता साझा नहीं करते क्योंकि उन्हें प्राप्त करने के लिए किए गए ऑपरेशन अलग हैं।
उनके पास रैखिक बीजगणित और कंप्यूटर विज्ञान जैसे व्युत्पन्न कार्यान्वयन के क्षेत्र में व्यापक अनुप्रयोग हैं।
ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स के बारे में अधिक
एक मैट्रिक्स का स्थानांतरण A को कॉलम के रूप में पंक्तियों या पंक्तियों को कॉलम के रूप में पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त मैट्रिक्स के रूप में पहचाना जा सकता है। नतीजतन, प्रत्येक तत्व के सूचकांक आपस में बदल जाते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, मैट्रिक्स ए का स्थानांतरण,के रूप में परिभाषित किया गया है
कहां
ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स में, विकर्ण अपरिवर्तित रहता है, लेकिन अन्य सभी तत्व विकर्ण के चारों ओर घूमते हैं। साथ ही, मैट्रिक्स का आकार भी m×n से n×m में बदल जाता है।
ट्रांसपोज़ में कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और वे मैट्रिसेस के आसान हेरफेर की अनुमति देते हैं। साथ ही, कुछ महत्वपूर्ण स्थानान्तरण मैट्रिक्स को उनकी विशेषताओं के आधार पर परिभाषित किया गया है। यदि मैट्रिक्स इसके स्थानान्तरण के बराबर है, तो मैट्रिक्स सममित है। यदि मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ के नकारात्मक के बराबर है, तो मैट्रिक्स एक तिरछा सममित है।एक मैट्रिक्स का संयुग्मित स्थानान्तरण मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है जिसमें तत्वों को इसके जटिल संयुग्म से बदल दिया जाता है।
उलटा मैट्रिक्स के बारे में अधिक
एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रम को एक मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक साथ गुणा करने पर पहचान मैट्रिक्स देता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, यदि AB=BA=I है तो B, A का प्रतिलोम आव्यूह है और A, B का प्रतिलोम आव्यूह है। इसलिए, यदि हम बी=ए -1 मानते हैं, तो एए -1 =ए -1 ए=मैं
एक मैट्रिक्स के व्युत्क्रमणीय होने के लिए, आवश्यक और पर्याप्त शर्त यह है कि A का सारणिक शून्य नहीं है; यानी | ए |=det(A) 0. एक मैट्रिक्स को उलटा, गैर-एकवचन, या गैर-अपक्षयी कहा जाता है यदि यह इस शर्त को पूरा करता है। यह इस प्रकार है कि A एक वर्ग मैट्रिक्स है और A -1 और A दोनों का आकार समान है।
मैट्रिक्स ए के व्युत्क्रम की गणना रैखिक बीजगणित में कई तरीकों से की जा सकती है जैसे गाऊसी उन्मूलन, आइगेंडेकंपोजिशन, चोल्स्की अपघटन, और कार्मर का नियम। ब्लॉक व्युत्क्रम विधि और न्यूमैन श्रृंखला द्वारा एक मैट्रिक्स को उलटा भी किया जा सकता है।
ट्रांसपोज़ और इनवर्स मैट्रिक्स में क्या अंतर है?
• मैट्रिक्स में कॉलम और पंक्तियों को पुनर्व्यवस्थित करके स्थानान्तरण प्राप्त किया जाता है जबकि व्युत्क्रम अपेक्षाकृत कठिन संख्यात्मक गणना द्वारा प्राप्त किया जाता है। (लेकिन वास्तव में दोनों रैखिक परिवर्तन हैं)
• प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, स्थानान्तरण में तत्व केवल अपनी स्थिति बदलते हैं, लेकिन मान समान होते हैं। लेकिन व्युत्क्रम में, संख्याएं मूल मैट्रिक्स से पूरी तरह भिन्न हो सकती हैं।
• प्रत्येक मैट्रिक्स में एक स्थानान्तरण हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम केवल वर्ग मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है, और निर्धारक को एक गैर-शून्य निर्धारक होना चाहिए।
