मैट्रिक्स बनाम निर्धारक
मैट्रिसेस और निर्धारक महत्वपूर्ण अवधारणाएं हैं जो रैखिक बीजगणित हैं, जहां मैट्रिसेस बड़े रैखिक समीकरणों और संयोजन का प्रतिनिधित्व करने का एक संक्षिप्त तरीका प्रदान करते हैं जबकि निर्धारक विशिष्ट रूप से एक निश्चित प्रकार के मैट्रिक्स से संबंधित होते हैं।
मैट्रिक्स के बारे में अधिक
मैट्रिस संख्याओं के आयताकार सरणियाँ हैं जहाँ संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित किया जाता है। मैट्रिक्स में कॉलम और पंक्तियों की संख्या मैट्रिक्स के आकार को निर्धारित करती है। आम तौर पर, एक मैट्रिक्स को समान रूप से वर्ग कोष्ठक द्वारा दर्शाया जाता है, और संख्याओं को पंक्तियों और स्तंभों के अंदर संरेखित किया जाता है।
A को 3×3 मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है क्योंकि इसमें 3 कॉलम और 3 पंक्तियाँ हैं। a_ij द्वारा निरूपित संख्याएं तत्व कहलाती हैं और पंक्ति संख्या और स्तंभ संख्या द्वारा विशिष्ट रूप से पहचानी जाती हैं। इसके अलावा, मैट्रिक्स को [a_ij]_(3×3) के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन इसके उपयोग सीमित हैं क्योंकि तत्व स्पष्ट रूप से नहीं दिए गए हैं। उपरोक्त उदाहरण को एक सामान्य मामले में विस्तारित करते हुए हम आकार के एक सामान्य मैट्रिक्स को परिभाषित कर सकते हैं m×n;
A में m पंक्तियाँ और n कॉलम हैं।
मैट्रिसेस को उनके विशेष गुणों के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है। उदाहरण के तौर पर, समान संख्या में पंक्तियों और स्तंभों वाले मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है, और एकल कॉलम वाले मैट्रिक्स को वेक्टर के रूप में जाना जाता है।
मैट्रिसेस पर संचालन विशेष रूप से परिभाषित हैं लेकिन अमूर्त बीजगणित में नियमों का पालन करें। इसलिए, मैट्रिक्स के बीच जोड़, घटाव और गुणा तत्व के आधार पर किया जाता है। मैट्रिक्स के लिए, विभाजन परिभाषित नहीं है, हालांकि व्युत्क्रम मौजूद है।
मैट्रिसेस संख्याओं के संग्रह का एक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व है, और इसका उपयोग रैखिक समीकरण को हल करने के लिए आसानी से किया जा सकता है। मैट्रिसेस का रैखिक रूपांतरों से संबंधित रैखिक बीजगणित के क्षेत्र में भी व्यापक अनुप्रयोग है।
निर्धारक के बारे में अधिक
निर्धारक प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स से जुड़ी एक अद्वितीय संख्या है और मैट्रिक्स में तत्वों के लिए एक निश्चित गणना करने के बाद प्राप्त की जाती है। व्यवहार में, सारणिक को मैट्रिक्स में तत्वों के लिए मापांक चिह्न लगाकर निरूपित किया जाता है। अत: A का सारणिक किसके द्वारा दिया जाता है;
और आम तौर पर m×n मैट्रिक्स के लिए
सारणिक प्राप्त करने की क्रिया इस प्रकार है;
|ए|=∑j=1 aj Cij, जहां सी ij Cij =(-1)i+j M द्वारा दिए गए मैट्रिक्स का सहकारक है ij.
सारणिक मैट्रिक्स के गुणों को निर्धारित करने वाला एक महत्वपूर्ण कारक है। यदि एक निश्चित मैट्रिक्स के लिए सारणिक शून्य है, तो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
मैट्रिक्स और निर्धारक में क्या अंतर है?
• एक मैट्रिक्स संख्याओं का एक समूह है, और एक सारणिक उस मैट्रिक्स से संबंधित एक अद्वितीय संख्या है।
• एक सारणिक वर्ग मैट्रिसेस से प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। एक सारणिक इससे जुड़ा एक अद्वितीय मैट्रिक्स नहीं दे सकता है।
• आव्यूह और सारणिक से संबंधित बीजगणित में समानताएं और अंतर हैं। विशेष रूप से गुणन करते समय। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स का गुणन तत्व के अनुसार किया जाना चाहिए, जहां निर्धारक एकल संख्याएं हैं और सरल गुणा का अनुसरण करते हैं।
• मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना के लिए निर्धारकों का उपयोग किया जाता है और यदि सारणिक शून्य है तो मैट्रिक्स का व्युत्क्रम मौजूद नहीं है।
