डेरिवेटिव बनाम डिफरेंशियल
डिफरेंशियल कैलकुलस में, व्युत्पन्न और एक फ़ंक्शन के अंतर निकटता से संबंधित हैं, लेकिन बहुत अलग अर्थ हैं, और अलग-अलग कार्यों से संबंधित दो महत्वपूर्ण गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।
व्युत्पन्न क्या है?
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस दर को मापता है जिस पर फ़ंक्शन मान उसके इनपुट में परिवर्तन के रूप में बदलता है। बहु-चर फलनों में, फलन मान में परिवर्तन स्वतंत्र चरों के मानों के परिवर्तन की दिशा पर निर्भर करता है। इसलिए, ऐसे मामलों में, एक विशिष्ट दिशा का चयन किया जाता है और उस विशेष दिशा में कार्य को विभेदित किया जाता है।उस व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है। आंशिक डेरिवेटिव एक विशेष प्रकार के दिशात्मक डेरिवेटिव हैं।
एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न f को सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] जहां भी यह अंतिम रूप से मौजूद है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह हमें सदिश u की दिशा में फलन f के बढ़ने की दर देता है। एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन के मामले में, यह व्युत्पन्न की प्रसिद्ध परिभाषा को कम कर देता है, [लेटेक्स]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
उदाहरण के लिए, [लेटेक्स]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] हर जगह अवकलनीय है, और व्युत्पन्न सीमा के बराबर है, [लेटेक्स]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], जो है [लेटेक्स]3x^{2}+4[/latex] के बराबर। [लेटेक्स]ई^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] जैसे कार्यों के व्युत्पन्न हर जगह मौजूद हैं। वे क्रमशः [लेटेक्स]ई^{x}, \\cos x, - \\sin x[/latex] कार्यों के बराबर हैं।
इसे प्रथम व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। आमतौर पर फ़ंक्शन f का पहला व्युत्पन्न f (1) द्वारा निरूपित किया जाता है अब इस संकेतन का उपयोग करके, उच्च क्रम के डेरिवेटिव को परिभाषित करना संभव है। [लेटेक्स]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] दूसरा क्रम दिशात्मक व्युत्पन्न है, और f (n) द्वारा n th व्युत्पन्न को दर्शाता है प्रत्येक n, [लेटेक्स]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n) के लिए -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।
डिफरेंशियल क्या है?
किसी फ़ंक्शन का अंतर स्वतंत्र चर या चर में परिवर्तन के संबंध में फ़ंक्शन में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य संकेतन में, किसी एकल चर x के दिए गए फ़ंक्शन f के लिए, क्रम 1 df का कुल अंतर, [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] द्वारा दिया जाता है। इसका अर्थ है कि x (अर्थात d x) में एक छोटे से परिवर्तन के लिए, f (1)(x)d x f में परिवर्तन होगा।
सीमा का उपयोग करके कोई इस परिभाषा को इस प्रकार समाप्त कर सकता है। मान लें कि ∆ x एक मनमाना बिंदु x पर x में परिवर्तन है और ∆ f फलन f में संगत परिवर्तन है। यह दिखाया जा सकता है कि ∆ f=f (1)(x)∆ x +, जहां त्रुटि है। अब, सीमा ∆ x→ 0∆ f / ∆ x =f (1)(x) (व्युत्पन्न की पहले बताई गई परिभाषा का उपयोग करते हुए) और इस प्रकार, x→ 0 ϵ/ ∆ x=0. इसलिए, यह संभव है निष्कर्ष निकालें कि, ∆ x→ 0 ϵ=0. अब, x→ 0 ∆ f को d f और ∆ x→ 0 ∆ x को d x के रूप में निरूपित करते हुए, अंतर की परिभाषा सख्ती से प्राप्त की जाती है।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन का अंतर [लेटेक्स]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] है [लेटेक्स](3x^{2}+4)dx[/लेटेक्स]।
दो या दो से अधिक चरों के फलनों के मामले में, किसी फलन के कुल अंतर को प्रत्येक स्वतंत्र चर की दिशाओं में अंतरों के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से, इसे [लेटेक्स]डीएफ=\\sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_{i}}dx_{i}[/latex] के रूप में कहा जा सकता है।.
डेरिवेटिव और डिफरेंशियल में क्या अंतर है?
• व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को संदर्भित करता है जबकि अंतर फ़ंक्शन के वास्तविक परिवर्तन को संदर्भित करता है, जब स्वतंत्र चर परिवर्तन के अधीन होता है।
• अवकलज [लेटेक्स]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \to 0}\\frac{f(x+h)-f(x)}{ द्वारा दिया जाता है। h}[/latex], लेकिन अंतर [latex]df=f^{1}(x)dx[/latex] द्वारा दिया गया है।
