डेरिवेटिव बनाम इंटीग्रल
कैलकुलस में विभेदन और एकीकरण दो मूलभूत ऑपरेशन हैं। गणित, इंजीनियरिंग और भौतिकी जैसे कई क्षेत्रों में उनके कई अनुप्रयोग हैं। व्युत्पन्न और अभिन्न दोनों एक भौतिक इकाई के कार्य या व्यवहार के व्यवहार पर चर्चा करते हैं जिसमें हम रुचि रखते हैं।
डेरिवेटिव क्या है?
मान लीजिए y=ƒ(x) और x0 के डोमेन में है। फिर लिमΔx→∞Δy/Δx=limΔx→∞[ƒ(x 0+Δx) − ƒ(x0)]/Δx को x0 पर ƒ के परिवर्तन की तात्कालिक दर कहा जाता है।, बशर्ते यह सीमा अंतिम रूप से मौजूद हो।इस सीमा को at का अवकलज भी कहा जाता है और इसे (x) से निरूपित किया जाता है।
फ़ंक्शन के डोमेन में एक मनमाना बिंदु x पर फ़ंक्शन f के व्युत्पन्न का मान limΔx→∞ द्वारा दिया जाता है [ƒ(x+Δx) − ƒ(x)]/Δx. इसे निम्नलिखित में से किसी एक व्यंजक द्वारा दर्शाया जाता है: y, (x), ƒ, dƒ(x)/dx, dƒ/dx, Dxy.
कई चर वाले कार्यों के लिए, हम आंशिक व्युत्पन्न परिभाषित करते हैं। कई चर वाले फ़ंक्शन का आंशिक व्युत्पन्न उन चरों में से एक के संबंध में इसका व्युत्पन्न है, यह मानते हुए कि अन्य चर स्थिरांक हैं। आंशिक व्युत्पन्न का प्रतीक ∂ है।
ज्यामितीय रूप से किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को फ़ंक्शन के वक्र के ढलान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (x)।
इंटीग्रल क्या है?
एकीकरण या भेदभाव-विरोधी भेदभाव की विपरीत प्रक्रिया है। दूसरे शब्दों में, जब फ़ंक्शन का व्युत्पन्न दिया जाता है, तो यह एक मूल फ़ंक्शन खोजने की प्रक्रिया है।इसलिए, एक फ़ंक्शन ƒ(x) का एक अभिन्न या एक विरोधी व्युत्पन्न यदि, ƒ(x)=F (x) को ƒ(x) के डोमेन में सभी x के लिए फ़ंक्शन F (x) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
व्यंजक (x) dx, फलन (x) के अवकलज को दर्शाता है। यदि ƒ(x)=F (x), तो ∫ƒ(x) dx=F (x)+C, जहां C एक स्थिरांक है, (x) dx को ƒ(x) का अनिश्चित समाकल कहा जाता है।
किसी भी फ़ंक्शन के लिए ƒ, जो अनिवार्य रूप से गैर-ऋणात्मक नहीं है, और अंतराल पर परिभाषित है [a, b], a∫b ƒ(x) dx को [a, b] पर निश्चित समाकल ƒ कहा जाता है।
निश्चित समाकलन a∫bƒ(x) किसी फलन का dx (x) को ज्यामितीय रूप से इसके क्षेत्रफल के रूप में व्याख्यायित किया जा सकता है वक्र ƒ(x), x-अक्ष और रेखाओं x=a और x=b. से घिरा क्षेत्र
डेरिवेटिव और इंटीग्रल में क्या अंतर है?
• व्युत्पन्न प्रक्रिया भेदभाव का परिणाम है, जबकि अभिन्न प्रक्रिया एकीकरण का परिणाम है।
• किसी फलन का व्युत्पन्न किसी भी बिंदु पर वक्र के ढलान का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि अभिन्न वक्र के नीचे के क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है।
