रिमेंन इंटीग्रल बनाम लेबेस्ग इंटीग्रल
कलन में एकीकरण एक मुख्य विषय है। व्यापक अर्थों में, एकीकरण को विभेदीकरण की विपरीत प्रक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक दुनिया की समस्याओं की मॉडलिंग करते समय, डेरिवेटिव से जुड़े भाव लिखना आसान होता है। ऐसी स्थिति में, विशेष व्युत्पन्न देने वाले फलन को खोजने के लिए समाकलन संक्रिया की आवश्यकता होती है।
दूसरे कोण से, एकीकरण एक प्रक्रिया है, जो एक फ़ंक्शन (x) और x के उत्पाद को जोड़ती है, जहां x एक निश्चित सीमा होती है। यही कारण है कि हम एकीकरण प्रतीक का उपयोग के रूप में करते हैं। प्रतीक ∫ वास्तव में, योग को संदर्भित करने के लिए अक्षर s को खींचकर प्राप्त किया जाता है।
रिमेंन इंटीग्रल
फ़ंक्शन y=ƒ(x) पर विचार करें। a और b के बीच y का समाकल, जहाँ a और b समुच्चय x से संबंधित हैं, को b ∫ a ƒ(x) dx के रूप में लिखा जाता है।=[एफ (एक्स)] ए → बी =एफ (बी) - एफ (ए)। इसे a और b के बीच एकल मान और सतत फलन y=ƒ(x) का निश्चित समाकलन कहा जाता है। यह वक्र के नीचे का क्षेत्र a और b के बीच देता है। इसे रीमैन इंटीग्रल भी कहा जाता है। रीमैन इंटीग्रल बर्नहार्ड रीमैन द्वारा बनाया गया था। एक सतत फलन का रिमेंन समाकलन जॉर्डन माप पर आधारित है, इसलिए इसे फलन के रिमेंन योगों की सीमा के रूप में भी परिभाषित किया गया है। एक बंद अंतराल पर परिभाषित एक वास्तविक मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, एक विभाजन x1, x2, …, x के संबंध में फ़ंक्शन का रीमैन इंटीग्रल n अंतराल पर परिभाषित [a, b] और t1, t2, …, t n, कहा पे xi ≤ ti ≤ xi+1 के लिए प्रत्येक मैं {1, 2, …, n}, रीमैन योग को Σi=o से n-1 ƒ(ti के रूप में परिभाषित किया गया है।)(xi+1 - xi)।
लेब्सग इंटीग्रल
Lebesgue एक अन्य प्रकार का समाकलन है, जिसमें Riemann इंटीग्रल की तुलना में कई प्रकार के मामले शामिल हैं। लेब्सग इंटीग्रल को हेनरी लेबेस्ग्यू द्वारा 1902 में पेश किया गया था। लेजेसग इंटीग्रेशन को रीमैन इंटीग्रेशन के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।
हमें एक और अभिन्न का अध्ययन करने की आवश्यकता क्यों है?
आइए विशेषता फलन पर विचार करें A (x)={0 अगर, x नहीं A1 यदि, x ε A एक समुच्चय A पर। फिर अभिलाक्षणिक फलनों का परिमित रैखिक संयोजन, जिसे F (x)=Σ ai के रूप में परिभाषित किया गया है। ƒ E i(x) को सरल फ़ंक्शन कहा जाता है यदि E i प्रत्येक i के लिए मापने योग्य है। E के ऊपर F (x) का Lebesgue इंटीग्रल E∫ ƒ(x)dx द्वारा निरूपित किया जाता है। फलन F (x) रीमैन इंटीग्रेबल नहीं है। इसलिए Lebesgue इंटीग्रल रीफ़्रेज़ रीमैन इंटीग्रल है, जिसमें एकीकृत किए जाने वाले फ़ंक्शंस पर कुछ प्रतिबंध हैं।
रिमेंन इंटीग्रल और लेबेस्ग इंटीग्रल में क्या अंतर है?
· Lebesgue इंटीग्रल, रीमैन इंटीग्रल का एक सामान्यीकरण रूप है।
· Lebesgue इंटीग्रल एक गणनीय अनंतता की अनुमति देता है, जबकि रीमैन इंटीग्रल एक सीमित संख्या में असंततता की अनुमति देता है।
