यादृच्छिक चर बनाम संभाव्यता वितरण
सांख्यिकीय प्रयोग यादृच्छिक प्रयोग हैं जिन्हें परिणामों के ज्ञात सेट के साथ अनिश्चित काल तक दोहराया जा सकता है। यादृच्छिक चर और संभाव्यता वितरण दोनों ऐसे प्रयोगों से जुड़े हैं। प्रत्येक यादृच्छिक चर के लिए, संचयी वितरण फ़ंक्शन नामक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित एक संबद्ध संभाव्यता वितरण होता है।
यादृच्छिक चर क्या है?
यादृच्छिक चर एक ऐसा फलन है जो सांख्यिकीय प्रयोग के परिणामों को संख्यात्मक मान प्रदान करता है। दूसरे शब्दों में, यह एक सांख्यिकीय प्रयोग के नमूना स्थान से वास्तविक संख्याओं के सेट में परिभाषित एक फ़ंक्शन है।
उदाहरण के लिए, एक सिक्के को दो बार उछालने के एक यादृच्छिक प्रयोग पर विचार करें। संभावित परिणाम एचएच, एचटी, टीएच और टीटी (एच-हेड्स, टी-टेल्स) हैं। मान लें कि चर X प्रयोग में देखे गए शीर्षों की संख्या है। फिर, एक्स मान 0, 1 या 2 ले सकता है, और यह एक यादृच्छिक चर है। यहाँ, यादृच्छिक चर X समुच्चय S={HH, HT, TH, TT} (नमूना स्थान) को समुच्चय {0, 1, 2} से इस प्रकार मैप करेगा कि HH को 2, HT और TH में मैप किया जाए। 1 में मैप किया जाता है और TT को 0 पर मैप किया जाता है। फ़ंक्शन नोटेशन में, इसे X: S → R के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ X(HH)=2, X(HT)=1, X(TH)=1 और X(टीटी)=0.
यादृच्छिक चर दो प्रकार के होते हैं: असतत और निरंतर, तदनुसार एक यादृच्छिक चर के संभावित मानों की संख्या अधिकतम गणना योग्य है या नहीं। पिछले उदाहरण में, यादृच्छिक चर X एक असतत यादृच्छिक चर है क्योंकि {0, 1, 2} एक परिमित समुच्चय है। अब, एक कक्षा में विद्यार्थियों का भार ज्ञात करने के सांख्यिकीय प्रयोग पर विचार करें। मान लें कि Y एक छात्र के वजन के रूप में परिभाषित यादृच्छिक चर है।Y एक विशिष्ट अंतराल के भीतर कोई भी वास्तविक मान ले सकता है। अत: Y एक सतत यादृच्छिक चर है।
संभाव्यता वितरण क्या है?
संभाव्यता वितरण एक ऐसा फ़ंक्शन है जो कुछ मान लेने वाले यादृच्छिक चर की संभावना का वर्णन करता है।
एक फलन जिसे संचयी बंटन फलन (F) कहा जाता है, को वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में परिभाषित किया जा सकता है जैसे F(x)=P(X ≤ x) (X के कम या से कम होने की प्रायिकता) x के बराबर) प्रत्येक संभावित परिणाम x के लिए। अब पहले उदाहरण में X का संचयी वितरण फलन F(a)=0 के रूप में लिखा जा सकता है, यदि a<0; एफ (ए)=0.25, अगर 0≤a<1; एफ(ए)=0.75, अगर 1≤a<2 और एफ(ए)=1, अगर a≥2.
असतत यादृच्छिक चर के मामले में, एक फ़ंक्शन को संभावित परिणामों के सेट से वास्तविक संख्याओं के सेट में इस तरह परिभाषित किया जा सकता है कि ƒ(x)=P(X=x) (X की संभावना) x के बराबर होना) प्रत्येक संभावित परिणाम x के लिए। इस विशेष फलन को यादृच्छिक चर X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन कहा जाता है।अब पहले विशेष उदाहरण में X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन ƒ(0)=0.25, ƒ(1)=0.5, ƒ(2)=0.25, और ƒ(x)=0 अन्यथा के रूप में लिखा जा सकता है। इस प्रकार, संचयी वितरण फलन के साथ प्रायिकता द्रव्यमान फलन पहले उदाहरण में X के प्रायिकता बंटन का वर्णन करेगा।
निरंतर यादृच्छिक चर के मामले में, संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (ƒ) नामक एक फ़ंक्शन को प्रत्येक x के लिए ƒ(x)=dF(x)/dx के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां F का संचयी वितरण फ़ंक्शन है निरंतर यादृच्छिक चर। यह देखना आसान है कि यह फ़ंक्शन ∫ƒ(x)dx=1 को संतुष्ट करता है। संचयी वितरण फ़ंक्शन के साथ संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन एक सतत यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण (जो एक सतत संभाव्यता वितरण है) को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ƒ(x)=1/√(2πσ2) e^([(x-) का उपयोग करके वर्णित किया गया है। µ)]2/(2σ2)).
यादृच्छिक चर और संभाव्यता वितरण में क्या अंतर है?
• रैंडम वैरिएबल एक ऐसा फंक्शन है जो सैंपल स्पेस के मानों को वास्तविक संख्या से जोड़ता है।
• प्रायिकता वितरण एक ऐसा फ़ंक्शन है जो उन मानों को जोड़ता है जो एक यादृच्छिक चर घटना की संबंधित संभावना के लिए ले सकता है।
