संभाव्यता वितरण समारोह बनाम संभाव्यता घनत्व समारोह
संभावना किसी घटना के घटित होने की संभावना है। यह विचार बहुत आम है, और दैनिक जीवन में अक्सर उपयोग किया जाता है जब हम अपने अवसरों, लेन-देन और कई अन्य चीजों का आकलन करते हैं। इस सरल अवधारणा को घटनाओं के एक बड़े समूह में विस्तारित करना थोड़ा अधिक चुनौतीपूर्ण है। उदाहरण के लिए, हम आसानी से लॉटरी जीतने की संभावना का पता नहीं लगा सकते हैं, लेकिन यह कहना सुविधाजनक, बल्कि सहज है, कि छह में से एक की संभावना है कि हम एक पासे में नंबर छह प्राप्त करने जा रहे हैं।
जब घटित होने वाली घटनाओं की संख्या बड़ी होती जा रही है, या व्यक्तिगत संभावनाओं की संख्या बड़ी है, तो संभाव्यता का यह सरल विचार विफल हो जाता है। इसलिए, उच्च जटिलता वाली समस्याओं के सामने आने से पहले इसे एक ठोस गणितीय परिभाषा दी जानी चाहिए।
जब एक ही स्थिति में होने वाली घटनाओं की संख्या बड़ी होती है, तो प्रत्येक घटना को अलग-अलग मान लेना असंभव है, जैसे कि पासा फेंके जाने के उदाहरण में। इसलिए, यादृच्छिक चर की अवधारणा को पेश करके घटनाओं के पूरे सेट को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है। यह एक चर है, जो उस विशेष स्थिति (या नमूना स्थान) में विभिन्न घटनाओं के मूल्यों को ग्रहण कर सकता है। यह स्थिति में सरल घटनाओं को गणितीय अर्थ देता है, और घटना को संबोधित करने का गणितीय तरीका देता है। अधिक सटीक रूप से, एक यादृच्छिक चर नमूना स्थान के तत्वों पर एक वास्तविक मान फ़ंक्शन है। यादृच्छिक चर या तो असतत या निरंतर हो सकते हैं। इन्हें आमतौर पर अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है।
संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन (या बस, संभाव्यता वितरण) एक ऐसा फ़ंक्शन है जो प्रत्येक घटना के लिए संभाव्यता मान निर्दिष्ट करता है; यानी यह उन मानों की प्रायिकताओं का संबंध प्रदान करता है जो यादृच्छिक चर ले सकते हैं।संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन असतत यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया गया है।
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के बराबर है, एक निश्चित यादृच्छिक चर की एक निश्चित मान ग्रहण करने की संभावना देता है।
यदि X एक असतत यादृच्छिक चर है, तो X की सीमा के भीतर प्रत्येक x के लिए f (x)=P (X=x) के रूप में दिया गया फलन प्रायिकता वितरण फलन कहलाता है। एक फ़ंक्शन संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन के रूप में कार्य कर सकता है यदि और केवल यदि फ़ंक्शन निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है।
1. च (एक्स) 0
2. ∑ एफ (एक्स)=1
एक फलन f (x) जिसे वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है, सतत यादृच्छिक चर X का प्रायिकता घनत्व फलन कहलाता है, यदि और केवल यदि, P (a x ≤ b)=a∫bf (x) dx किसी भी वास्तविक स्थिरांक a और b के लिए।
संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को निम्नलिखित शर्तों को भी पूरा करना चाहिए।
1. f (x) 0 सभी x के लिए: -∞ < x < +∞
2. -∞∫+∞एफ (एक्स) डीएक्स=1
संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन दोनों का उपयोग नमूना स्थान पर संभावनाओं के वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः, इन्हें प्रायिकता बंटन कहा जाता है।
सांख्यिकीय मॉडलिंग के लिए, मानक संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन प्राप्त किए जाते हैं। सामान्य वितरण और मानक सामान्य वितरण निरंतर संभाव्यता वितरण के उदाहरण हैं। द्विपद बंटन और पॉसों बंटन असतत प्रायिकता बंटनों के उदाहरण हैं।
संभाव्यता वितरण और संभाव्यता घनत्व समारोह के बीच क्या अंतर है?
• संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन प्रत्येक तत्व को प्रासंगिक संभाव्यता मान निर्दिष्ट करने के लिए नमूना स्थान पर परिभाषित कार्य हैं।
• असतत यादृच्छिक चर के लिए संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन परिभाषित किए गए हैं जबकि संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन निरंतर यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किए गए हैं।
• संभाव्यता मानों का वितरण (यानी संभाव्यता वितरण) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन और संभाव्यता वितरण फ़ंक्शन द्वारा सर्वोत्तम रूप से चित्रित किया जाता है।
• प्रायिकता बंटन फलन को तालिका में मान के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन प्रायिकता घनत्व फलन के लिए यह संभव नहीं है क्योंकि चर सतत है।
• प्लॉट किए जाने पर, प्रायिकता वितरण फ़ंक्शन एक बार प्लॉट देता है जबकि प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन एक वक्र देता है।
• प्रायिकता वितरण फलन के दंडों की ऊंचाई/लंबाई 1 से जोड़नी चाहिए जबकि संभाव्यता घनत्व फलन के वक्र के नीचे का क्षेत्र 1 से जोड़ना चाहिए।
• दोनों ही मामलों में, फ़ंक्शन के सभी मान गैर-ऋणात्मक होने चाहिए।
