आश्रित बनाम स्वतंत्र घटनाएँ
हमारे दैनिक जीवन में, हम अनिश्चितता के साथ घटनाओं का सामना करते हैं। उदाहरण के लिए, आपके द्वारा खरीदी गई लॉटरी जीतने का मौका या आपके द्वारा आवेदन की गई नौकरी पाने का मौका। संभाव्यता के मौलिक सिद्धांत का उपयोग गणितीय रूप से कुछ होने की संभावना को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। प्रायिकता हमेशा यादृच्छिक प्रयोगों से जुड़ी होती है। कई संभावित परिणामों के साथ एक प्रयोग को एक यादृच्छिक प्रयोग कहा जाता है, यदि किसी एकल परीक्षण के परिणाम की भविष्यवाणी पहले से नहीं की जा सकती है। आश्रित और स्वतंत्र घटनाएँ संभाव्यता सिद्धांत में प्रयुक्त शब्द हैं।
एक घटना बी को एक घटना ए से स्वतंत्र कहा जाता है, अगर बी होने की संभावना इस बात से प्रभावित नहीं होती है कि ए हुआ है या नहीं।बस, दो घटनाएँ स्वतंत्र होती हैं यदि एक का परिणाम दूसरी घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, B, A से स्वतंत्र है, यदि P(B)=P(B|A) । इसी प्रकार, A, B से स्वतंत्र है, यदि P(A)=P(A|B) है। यहां, पी (ए | बी) सशर्त संभावना ए को दर्शाता है, यह मानते हुए कि बी हुआ है। यदि हम दो पासे के लुढ़कने पर विचार करते हैं, तो एक पासे में दिखाई देने वाली संख्या का दूसरे पासे में आने वाली संख्या पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
एक नमूना स्थान S में किन्हीं दो घटनाओं A और B के लिए; A की सशर्त प्रायिकता, यह देखते हुए कि B हुआ है, P(A|B)=P(A∩B)/P(B) है। अतः यदि घटना A, घटना B से स्वतंत्र है, तो P(A)=P(A|B) का अर्थ है कि P(A∩B)=P(A) x P(B)। इसी प्रकार, यदि P(B)=P(B|A), तो P(A∩B)=P(A) x P(B) धारण करता है। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, यदि और केवल यदि, स्थिति P(A∩B)=P(A) x P(B) धारण करती है।
मान लें कि हम एक पासे को रोल करते हैं और एक सिक्के को एक साथ उछालते हैं। फिर सभी संभावित परिणामों का सेट या नमूना स्थान है S={(1, H), (2, H), (3, H), (4, H), (5, H), (6, H), (1, टी), (2, टी), (3, टी), (4, टी), (5, टी), (6, टी)}।मान लीजिए कि घटना A चित आने की घटना है, तो घटना A, P(A) की प्रायिकता 6/12 या 1/2 है, और मान लीजिए कि पासे पर तीन का गुणज आने की घटना B है। तब P(B)=4/12=1/3। इन दोनों घटनाओं में से किसी का भी दूसरी घटना के घटित होने पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अतः ये दोनों घटनाएँ स्वतंत्र हैं। चूँकि समुच्चय (A∩B)={(3, H), (6, H)}, किसी घटना के मरने पर चित और तीन का गुणज मिलने की प्रायिकता, अर्थात P(A∩B) 2/12 है या 1/6. गुणा, पी (ए) एक्स पी (बी) भी 1/6 के बराबर है। चूँकि, दो घटनाएँ A और B एक शर्त रखती हैं, हम कह सकते हैं कि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं।
यदि किसी घटना का परिणाम दूसरी घटना के परिणाम से प्रभावित होता है, तो उस घटना को आश्रित कहा जाता है।
मान लें कि हमारे पास एक बैग है जिसमें 3 लाल गेंदें, 2 सफेद गेंदें और 2 हरी गेंदें हैं। एक सफेद गेंद को यादृच्छया निकालने की प्रायिकता 2/7 है। हरी गेंद निकालने की प्रायिकता क्या है? क्या यह 2/7 है?
पहली गेंद को बदलने के बाद अगर हमने दूसरी गेंद खींची होती, तो यह संभावना 2/7 होगी।हालांकि, अगर हम पहली गेंद को बाहर नहीं निकालते हैं, तो हमारे पास बैग में केवल छह गेंदें होती हैं, इसलिए हरी गेंद निकालने की संभावना अब 2/6 या 1/3 है। इसलिए, दूसरी घटना निर्भर है, क्योंकि पहली घटना का प्रभाव दूसरी घटना पर पड़ता है।
डिपेंडेंट इवेंट और इंडिपेंडेंट इवेंट में क्या अंतर है?
