परस्पर अनन्य बनाम स्वतंत्र कार्यक्रम
लोग अक्सर स्वतंत्र घटनाओं के साथ परस्पर अनन्य घटनाओं की अवधारणा को भ्रमित करते हैं। दरअसल, ये दो अलग चीजें हैं।
मान लीजिए कि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग E से जुड़ी कोई दो घटनाएँ हैं। P(A) को "A की प्रायिकता" कहा जाता है। इसी तरह, हम बी की संभावना को पी (बी) के रूप में परिभाषित कर सकते हैं, ए या बी की संभावना पी (ए∪बी) के रूप में, और ए और बी की संभावना पी (ए∩बी) के रूप में परिभाषित कर सकते हैं। फिर, P(A∪B)=P(A)+ P(B)-P(A∩B)।
हालांकि, दो घटनाओं को परस्पर अनन्य कहा जाता है यदि एक घटना की घटना दूसरे को प्रभावित नहीं करती है। दूसरे शब्दों में, वे एक साथ नहीं हो सकते। इसलिए, यदि दो घटनाएँ A और B परस्पर अनन्य हैं तो A∩B=∅ और इसलिए, इसका अर्थ है P(A∪B)=P(A)+ P(B)।
मान लीजिए कि A और B एक प्रतिदर्श समष्टि S में दो घटनाएँ हैं। A की सशर्त प्रायिकता, यह देखते हुए कि B हुआ है, P(A | B) द्वारा निरूपित किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है; P(A | B)=P(A∩B)/P(B), बशर्ते P(B)>0। (अन्यथा, यह परिभाषित नहीं है।)
एक घटना ए को एक घटना बी से स्वतंत्र कहा जाता है, अगर ए होने की संभावना इस बात से प्रभावित नहीं होती है कि बी हुआ है या नहीं। दूसरे शब्दों में, घटना बी के परिणाम का घटना ए के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसलिए, पी (ए | बी)=पी (ए)। इसी तरह, बी ए से स्वतंत्र है यदि पी (बी)=पी (बी | ए)। इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यदि A और B स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो P(A∩B)=P(A). P(B)
मान लें कि एक गिने हुए घन को लुढ़काया जाता है और एक निष्पक्ष सिक्का उछाला जाता है। मान लीजिए A वह घटना है जो एक चित प्राप्त करती है और B वह घटना है जो एक सम संख्या को लुढ़कती है। तब हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, क्योंकि एक का परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसलिए, P(A∩B)=P(A). P(B)=(1/2)(1/2)=1/4. चूँकि P(A∩B)≠0, A और B परस्पर अपवर्जी नहीं हो सकते।
मान लीजिए कि एक कलश में 7 सफेद कंचे और 8 काले कंचे हैं। घटना A को एक सफेद संगमरमर के रूप में परिभाषित करें और घटना B को एक काले संगमरमर को चित्रित करने के रूप में परिभाषित करें। यह मानते हुए कि प्रत्येक मार्बल को उसके रंग को नोट करने के बाद बदल दिया जाएगा, तो P(A) और P(B) हमेशा समान रहेंगे, चाहे हम कलश से कितनी भी बार निकालें। मार्बल्स को बदलने का मतलब है कि ड्रॉ से ड्रॉ में संभावनाएं नहीं बदलती हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमने आखिरी ड्रॉ में कौन सा रंग चुना था। इसलिए, घटना A और B स्वतंत्र हैं।
हालांकि, अगर कंचे बदले बिना खींचे जाते हैं, तो सब कुछ बदल जाता है। इस धारणा के तहत, घटनाएँ A और B स्वतंत्र नहीं हैं। पहली बार सफेद मार्बल बनाने से दूसरे ड्रॉ पर काले मार्बल को खींचने की प्रायिकताएँ बदल जाती हैं और इसी तरह आगे भी। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक ड्रॉ का अगले ड्रॉ पर प्रभाव पड़ता है, और इसलिए व्यक्तिगत ड्रॉ स्वतंत्र नहीं होते हैं।
परस्पर अनन्य और स्वतंत्र घटनाओं के बीच अंतर
- घटनाओं की पारस्परिक विशिष्टता का मतलब है कि सेट ए और बी के बीच कोई ओवरलैप नहीं है। घटनाओं की स्वतंत्रता का मतलब है कि ए का होना बी के होने को प्रभावित नहीं करता है।
– यदि दो घटनाएँ A और B परस्पर अपवर्जी हैं, तो P(A∩B)=0.
– यदि दो घटनाएँ A और B स्वतंत्र हैं, तो P(A∩B)=P(A). P(B)
