बर्नौली और द्विपद के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

बर्नौली बनाम द्विपद

अक्सर वास्तविक जीवन में, हम ऐसी घटनाओं से रूबरू होते हैं, जिनके केवल दो परिणाम होते हैं जो मायने रखते हैं। उदाहरण के लिए, या तो हम एक नौकरी के लिए साक्षात्कार पास करते हैं जिसका हमने सामना किया या उस साक्षात्कार में असफल रहे, या तो हमारी उड़ान समय पर प्रस्थान करती है या इसमें देरी होती है। इन सभी स्थितियों में, हम प्रायिकता अवधारणा 'बर्नौली परीक्षण' लागू कर सकते हैं।

बर्नौली

संभाव्यता p और q के साथ केवल दो संभावित परिणामों वाला एक यादृच्छिक प्रयोग; जहां p+q=1, को जेम्स बर्नौली (1654-1705) के सम्मान में बर्नौली परीक्षण कहा जाता है। आमतौर पर प्रयोग के दो परिणामों को 'सफलता' या 'विफलता' कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि हम एक सिक्के को उछालने पर विचार करते हैं, तो इसके दो संभावित परिणाम होते हैं, जिन्हें 'सिर' या 'पूंछ' कहा जाता है। अगर हम सिर गिरने में रुचि रखते हैं; सफलता की संभावना 1/2 है, जिसे पी (सफलता)=1/2 के रूप में दर्शाया जा सकता है, और विफलता की संभावना 1/2 है। इसी तरह, जब हम दो पासे फेंकते हैं, यदि हम केवल दो पासों के योग में रुचि रखते हैं, तो 8, P (सफलता)=5/36 और P (विफलता)=1- 5/36=31/36।

ए बर्नौली प्रक्रिया स्वतंत्र रूप से बर्नौली परीक्षणों के अनुक्रम की एक घटना है; इसलिए, प्रत्येक परीक्षण के लिए सफलता की संभावना समान रहती है। इसके अलावा, प्रत्येक परीक्षण के लिए विफलता की संभावना 1-पी (सफलता) है।

चूंकि व्यक्तिगत ट्रेल्स स्वतंत्र हैं, बर्नौली प्रक्रिया में एक घटना की संभावना की गणना सफलता और विफलता की संभावनाओं के उत्पाद को लेकर की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि सफलता की प्रायिकता [P(S)] को p से और असफलता की प्रायिकता [P (F)] को q से प्रदर्शित किया जाता है; तब P(SSSF)=p³q और P(FFSS)=p²q²

द्विपद

बर्नौली परीक्षणों से द्विपद वितरण होता है। ज्यादातर मौकों पर, लोग दो शब्दों 'बर्नौली' और 'द्विपद' से भ्रमित हो जाते हैं। द्विपद वितरण स्वतंत्र और समान रूप से वितरित बर्नौली परीक्षणों का योग है। द्विपद बंटन को संकेतन b(k;n, p) द्वारा निरूपित किया जाता है; b(k;n, p)=C(n, k)p^kq^{n-k, जहां C(n, k) के रूप में जाना जाता है द्विपद गुणांक। द्विपद गुणांक C(n, k) की गणना सूत्र n!/k!(n-k)! का उपयोग करके की जा सकती है।}

उदाहरण के लिए, यदि 25% जीतने वाली टिकटों वाली तत्काल लॉटरी 10 लोगों के बीच बेची जाती है, तो जीतने वाली टिकट खरीदने की संभावना b(1;10, 0.25)=C(10, 1)(0.25)(0.75)^{9 ≈ 9 x 0.25 x 0.075 ≈ 0.169}

बर्नौली और द्विपद में क्या अंतर है?

• बर्नौली परीक्षण केवल दो संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक प्रयोग है।
• द्विपद प्रयोग स्वतंत्र रूप से किए गए बर्नौली परीक्षणों का एक क्रम है।