द्विपद और सामान्य वितरण के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

द्विपद बनाम सामान्य वितरण

यादृच्छिक चरों के प्रायिकता वितरण सांख्यिकी के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उन संभाव्यता वितरणों में से, द्विपद वितरण और सामान्य वितरण वास्तविक जीवन में सबसे अधिक होने वाले दो हैं।

द्विपद वितरण क्या है?

द्विपद बंटन यादृच्छिक चर X के संगत प्रायिकता बंटन है, जो स्वतंत्र हां/नहीं प्रयोगों के एक परिमित अनुक्रम की सफलताओं की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक के सफल होने की प्रायिकता p है। एक्स की परिभाषा से, यह स्पष्ट है कि यह एक असतत यादृच्छिक चर है; इसलिए, द्विपद बंटन भी असतत है।

वितरण को X ~ B (n, p) के रूप में दर्शाया जाता है जहाँ n प्रयोगों की संख्या है और p सफलता की प्रायिकता है। संभाव्यता सिद्धांत के अनुसार, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बी (एन, पी) संभाव्यता द्रव्यमान समारोह [लेटेक्स] बी (एन, पी) / सिम \\ बिनोम {एन} {के} पी ^ {के} (1-पी) का पालन करता है।)^{(n-k)}, k=0, 1, 2, …n [/latex]। इस समीकरण से, यह और भी अनुमान लगाया जा सकता है कि X, E(X)=np का अपेक्षित मान और X, V(X)=np (1-p) का प्रसरण।

उदाहरण के लिए, एक सिक्के को 3 बार उछालने के यादृच्छिक प्रयोग पर विचार करें। सफलता को एच प्राप्त करने के रूप में परिभाषित करें, टी प्राप्त करने के रूप में विफलता और प्रयोग में सफलताओं की संख्या के रूप में यादृच्छिक चर एक्स। फिर X ~ B (3, 0.5) और [लेटेक्स] \binom{3}{k} 0 द्वारा दिए गए X का प्रायिकता द्रव्यमान फलन।5^{k} (0.5)^{(3-k)}, k=0, 1, 2.[/latex]। इसलिए, कम से कम 2 एच प्राप्त करने की संभावना है पी(एक्स ≥ 2)=पी (एक्स=2 या एक्स=3)=पी (एक्स=2) + पी (एक्स=3)=³ सी₂(0.5²)(0.5¹) + ³ सी₃(0.5³)(0.5^{0)=0.375 + 0.125=0.5.}

सामान्य वितरण क्या है?

सामान्य वितरण संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित निरंतर संभाव्यता वितरण है, [लेटेक्स] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]। पैरामीटर [लेटेक्स] \mu और \\sigma [/latex] ब्याज की आबादी के माध्य और मानक विचलन को दर्शाते हैं। जब [लेटेक्स] \mu=0 और \\sigma=1 [/latex] वितरण को मानक सामान्य वितरण कहा जाता है।

इस वितरण को सामान्य कहा जाता है क्योंकि अधिकांश प्राकृतिक घटनाएं सामान्य वितरण का पालन करती हैं। उदाहरण के लिए, मानव आबादी का आईक्यू सामान्य रूप से वितरित किया जाता है।जैसा कि ग्राफ से देखा जा सकता है, यह एकरूप है, माध्य के बारे में सममित और घंटी के आकार का है। माध्य, बहुलक और माध्यिका संयोग कर रहे हैं। वक्र के नीचे का क्षेत्र जनसंख्या के हिस्से से मेल खाता है, जो किसी दी गई शर्त को पूरा करता है।

अंतराल में जनसंख्या का भाग [लेटेक्स] (\mu – \\sigma, \\mu + \\sigma) [/latex], [latex] (\mu – 2 \\sigma, \\mu + 2 \\sigma) [/latex], [latex] (\mu - 3 \\sigma, \\mu + 3 \\sigma) [/latex] लगभग 68.2%, 95.6% और 99.8% हैं। क्रमशः।

द्विपद और सामान्य वितरण में क्या अंतर है?

• द्विपद बंटन एक असतत प्रायिकता बंटन है जबकि सामान्य बंटन एक सतत है।
• द्विपद बंटन का प्रायिकता द्रव्यमान फलन [लेटेक्स]बी(एन, पी)\\sim \\binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{(n-k) है } [/लेटेक्स], जबकि सामान्य वितरण का संभाव्यता घनत्व कार्य है [लेटेक्स] N(\mu, \\sigma)\\sim\\frac{1}{\sqrt{2 \\pi \\sigma ^{2}}} / e^{- \\frac{(x-\\mu)^{2}}{2 \\sigma^{2}}} [/latex]
• द्विपद वितरण कुछ शर्तों के तहत सामान्य वितरण के साथ अनुमानित है, लेकिन दूसरी तरफ नहीं।