उपसमुच्चय बनाम उचित उपसमुच्चय
चीजों को समूहों में वर्गीकृत करके दुनिया को महसूस करना काफी स्वाभाविक है। यह 'सेट थ्योरी' नामक गणितीय अवधारणा का आधार है। सेट सिद्धांत उन्नीसवीं सदी के अंत में विकसित किया गया था, और अब, यह गणित में सर्वव्यापी है। नींव के रूप में सेट सिद्धांत का उपयोग करके लगभग सभी गणित प्राप्त किए जा सकते हैं। सेट थ्योरी का अनुप्रयोग अमूर्त गणित से लेकर मूर्त भौतिक दुनिया के सभी विषयों तक होता है।
समुच्चय और उचित उपसमुच्चय दो शब्दावलियां हैं जिनका प्रयोग अक्सर सेट थ्योरी में सेट के बीच संबंधों को पेश करने के लिए किया जाता है।
यदि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव भी समुच्चय B का सदस्य है, तो समुच्चय A को B का उपसमुच्चय कहा जाता है। इसे "A, B में समाहित है" के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। अधिक औपचारिक रूप से, A, B का एक उपसमुच्चय है, जिसे A⊆B द्वारा निरूपित किया जाता है, यदि x∈A का अर्थ x∈B है।
कोई भी समुच्चय अपने आप में उसी समुच्चय का उप समुच्चय होता है, क्योंकि जाहिर है कोई भी अवयव जो समुच्चय में है वह भी उसी समुच्चय में होगा। हम कहते हैं कि "ए बी का एक उचित उपसमुच्चय है", यदि ए, बी का सबसेट है, लेकिन ए, बी के बराबर नहीं है। यह दर्शाने के लिए कि ए बी का एक उचित उप समूह है, हम नोटेशन ए⊂बी का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय {1, 2} में 4 उपसमुच्चय हैं, लेकिन केवल 3 उचित उपसमुच्चय हैं। क्योंकि {1, 2} एक उपसमुच्चय है लेकिन {1, 2} का उचित उपसमुच्चय नहीं है।
यदि एक समुच्चय दूसरे समुच्चय का उचित उपसमुच्चय है, तो वह सदैव उस समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, (अर्थात यदि A, B का उचित उपसमुच्चय है, तो इसका अर्थ है कि A, B का उपसमुच्चय है)। लेकिन ऐसे उपसमुच्चय हो सकते हैं, जो उनके सुपरसेट के उचित उपसमुच्चय नहीं हैं। यदि दो समुच्चय समान हैं, तो वे एक दूसरे के उपसमुच्चय हैं, लेकिन एक दूसरे के उचित उपसमुच्चय नहीं हैं।
संक्षेप में:
– अगर A, B का उपसमुच्चय है तो A और B बराबर हो सकते हैं।
– यदि A, B का उचित उपसमुच्चय है तो A, B के बराबर नहीं हो सकता।
