सबसेट बनाम सुपरसेट
गणित में समुच्चय की अवधारणा मौलिक है। सेट थ्योरी के आधुनिक अध्ययन को 1800 के दशक के अंत में औपचारिक रूप दिया गया था। सेट थ्योरी गणित की एक मौलिक भाषा है, और आधुनिक गणित के बुनियादी सिद्धांतों का भंडार है। दूसरी ओर, यह अपने आप में गणित की एक शाखा है, जिसे आधुनिक गणित में गणितीय तर्क की एक शाखा के रूप में वर्गीकृत किया गया है।
एक सेट वस्तुओं का एक अच्छी तरह से परिभाषित संग्रह है। अच्छी तरह से परिभाषित का अर्थ है, कि एक तंत्र मौजूद है जिसके द्वारा कोई यह निर्धारित करने में सक्षम है कि दी गई वस्तु किसी विशेष सेट से संबंधित है या नहीं। जो वस्तुएँ समुच्चय से संबंधित होती हैं, वे तत्व या समुच्चय के सदस्य कहलाती हैं।सेट को आमतौर पर बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है और तत्वों का प्रतिनिधित्व करने के लिए लोअर केस अक्षरों का उपयोग किया जाता है।
एक समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय कहा जाता है; यदि और केवल यदि, समुच्चय A का प्रत्येक अवयव भी समुच्चय B का एक अवयव है। समुच्चयों के बीच ऐसा संबंध A B द्वारा निरूपित किया जाता है। इसे 'A, B में समाहित है' के रूप में भी पढ़ा जा सकता है। सेट ए को एक उचित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि ए बी और ए ≠बी, और ए बी द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि ए में एक भी सदस्य है जो बी का सदस्य नहीं है, तो ए बी का सबसेट नहीं हो सकता है.खाली समुच्चय किसी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है, और समुच्चय स्वयं उसी समुच्चय का उपसमुच्चय होता है।
यदि A, B का एक उपसमुच्चय है, तो A, B में समाहित है। इसका तात्पर्य है कि B में A है, या दूसरे शब्दों में, B, A का एक सुपरसेट है। हम A B लिखते हैं ताकि यह दर्शाया जा सके कि B एक है A. का सुपरसेट
उदाहरण के लिए, A={1, 3}, B={1, 2, 3} का एक उपसमुच्चय है, क्योंकि A के सभी अवयव B में समाहित हैं। B, A का सुपरसेट है, क्योंकि B में A. मान लीजिए A={1, 2, 3} और B={3, 4, 5}। तब A∩B={3} । अत: A और B दोनों A∩B के सुपरसेट हैं।समुच्चय A∪B, A और B दोनों का सुपरसेट है, क्योंकि A∪B में A और B के सभी अवयव हैं।
यदि A, B का सुपरसेट है और B, C का सुपरसेट है, तो A, C का सुपरसेट है। कोई भी सेट A, खाली सेट का सुपरसेट है और कोई भी सेट स्वयं उस सेट का सुपरसेट है।
‘A, B का एक उपसमुच्चय है’ को ‘A, B में समाहित है’ के रूप में भी पढ़ा जाता है, जिसे A B द्वारा दर्शाया जाता है।
‘B, A का सुपरसेट है’ को ‘B, A में समाहित है’ के रूप में भी पढ़ा जाता है, जिसे A B द्वारा दर्शाया जाता है।
