परबोला बनाम हाइपरबोला
केप्लर ने ग्रहों की कक्षाओं को दीर्घवृत्त के रूप में वर्णित किया जिन्हें बाद में न्यूटन द्वारा संशोधित किया गया क्योंकि उन्होंने इन कक्षाओं को परवलय और अतिपरवलय जैसे विशेष शंकु वर्ग के रूप में दिखाया। एक परवलय और एक अतिपरवलय के बीच कई समानताएं हैं लेकिन अंतर भी हैं क्योंकि इन शंकु वर्गों से जुड़े ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए अलग-अलग समीकरण हैं। परवलय और अतिपरवलय के बीच अंतर को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हमें इन शंकु वर्गों को समझना होगा।
एक खंड एक सतह या उस सतह की रूपरेखा है जो किसी ठोस आकृति को समतल से काटकर बनाई जाती है। यदि ठोस आकृति एक शंकु होती है, तो परिणामी वक्र को शंकु खंड कहा जाता है। शंकु खंड का प्रकार और आकार समतल के प्रतिच्छेदन कोण और शंकु के अक्ष द्वारा निर्धारित किया जाता है। जब शंकु को अक्ष से समकोण पर काटा जाता है, तो हमें एक गोलाकार आकार मिलता है। जब एक समकोण से कम लेकिन शंकु के किनारे से बने कोण से अधिक काटा जाता है तो एक दीर्घवृत्त होता है। जब शंकु की भुजा के समानांतर काटा जाता है, तो प्राप्त वक्र एक परवलय होता है और जब उस भुजा के अक्ष के लगभग समानांतर काटा जाता है, तो हमें एक वक्र मिलता है जिसे अतिपरवलय कहा जाता है। जैसा कि आप आंकड़ों से देख सकते हैं, वृत्त और दीर्घवृत्त बंद वक्र हैं जबकि परवलय और अतिपरवलय खुले वक्र हैं। परवलय के मामले में, दो भुजाएँ अंततः एक दूसरे के समानांतर हो जाती हैं जबकि अतिपरवलय के मामले में ऐसा नहीं होता है।
चूंकि शंकु को विशिष्ट कोणों पर काटने से वृत्त और परवलय बनते हैं, सभी वृत्त आकार में समान होते हैं और सभी परवलय आकार में समान होते हैं। अतिपरवलय और दीर्घवृत्त के मामले में तल और अक्ष के बीच कोणों की एक विस्तृत श्रृंखला होती है, यही कारण है कि उनके आकार की एक विस्तृत श्रृंखला होती है। चार प्रकार के शंकु वर्गों के समीकरण इस प्रकार हैं।
सर्कल- x2+y2=1
Elipse- x2/a2+ y2/b2=1
परबोला- y2=4ax
हाइपरबोला- x2/a2- y2/b2=1
