ट्रांसपोज़ बनाम कॉन्जुगेट ट्रांसपोज़
मैट्रिक्स ए के स्थानान्तरण को कॉलम के रूप में पंक्तियों या पंक्तियों को कॉलम के रूप में पुनर्व्यवस्थित करके प्राप्त मैट्रिक्स के रूप में पहचाना जा सकता है। नतीजतन, प्रत्येक तत्व के सूचकांक आपस में बदल जाते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एक मैट्रिक्स A का स्थानांतरणके रूप में परिभाषित किया गया है
कहां
ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स में, विकर्ण अपरिवर्तित रहता है। लेकिन अन्य सभी तत्व विकर्ण के चारों ओर घूमते हैं। साथ ही, मैट्रिक्स का आकार भी m×n से n×m में बदल जाता है।
ट्रांसपोज़ में कुछ महत्वपूर्ण गुण होते हैं, और वे मैट्रिसेस के आसान हेरफेर की अनुमति देते हैं। साथ ही, कुछ महत्वपूर्ण स्थानान्तरण मैट्रिक्स को उनकी विशेषताओं के आधार पर परिभाषित किया गया है। यदि मैट्रिक्स इसके स्थानान्तरण के बराबर है, तो मैट्रिक्स सममित है। यदि मैट्रिक्स ट्रांसपोज़ के अपने ऋणात्मक के बराबर है, तो मैट्रिक्स एक तिरछा सममित है।
एक मैट्रिक्स का संयुग्मित स्थानान्तरण मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है जिसमें तत्वों को इसके जटिल संयुग्म से बदल दिया जाता है। अर्थात्, जटिल संयुग्म (A) को मैट्रिक्स A के जटिल संयुग्म के स्थानान्तरण के रूप में परिभाषित किया गया है।
ए=(Ā)टी; विस्तार से,
कहां
और एकजी ε सी.
इसे हर्मिटियन ट्रांसपोज़ और हर्मिटियन कॉन्जुगेट के नाम से भी जाना जाता है। यदि संयुग्म स्थानांतरण मैट्रिक्स के बराबर है, तो मैट्रिक्स को हर्मिटियन मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है। यदि संयुग्म स्थानांतरण मैट्रिक्स के ऋणात्मक के बराबर है, तो यह एक तिरछा हर्मिटियन मैट्रिक्स है। और यदि आव्यूह का व्युत्क्रम सम्मिश्र संयुग्म के बराबर है, तो आव्यूह एकात्मक है।
इसी तरह, सभी विशेष मैट्रिसेस कॉम्प्लेक्स कॉन्जुगेट में भी विशेष गुण होते हैं जिनका उपयोग गणितीय रूप से उन्हें आसानी से हेरफेर करने के लिए किया जा सकता है। संयुग्म पारगमन व्यापक रूप से क्वांटम यांत्रिकी और इसके प्रासंगिक क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।
ट्रांसपोज़ और कॉन्जुगेट ट्रांसपोज़ में क्या अंतर है?
• स्तंभों को पंक्तियों में या पंक्तियों को स्तंभों में पुनर्व्यवस्थित करके मैट्रिक्स का स्थानांतरण प्राप्त किया जाता है। एक मैट्रिक्स का जटिल संयुग्म प्रत्येक तत्व को उसके जटिल संयुग्म द्वारा प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है (अर्थात x+iy x-iy या इसके विपरीत)। संयुग्म पारगमन मैट्रिक्स पर दोनों संक्रियाओं को निष्पादित करके प्राप्त किया जाता है।
• इसलिए, संयुग्मित स्थानान्तरण केवल एक स्थानान्तरण मैट्रिक्स है जिसमें इसके जटिल संयुग्म तत्वों के रूप में होते हैं।
