अंकगणित बनाम ज्यामितीय श्रृंखला
श्रृंखला की गणितीय परिभाषा का अनुक्रमों से गहरा संबंध है। अनुक्रम संख्याओं का एक क्रमबद्ध सेट है और यह एक परिमित या अनंत सेट हो सकता है। संख्याओं का वह क्रम जिसमें दो तत्वों के बीच का अंतर अचर होता है, अंकगणितीय प्रगति कहलाती है। दो क्रमागत संख्याओं के अचर भागफल वाले अनुक्रम को ज्यामितीय प्रगति कहते हैं। ये प्रगति या तो परिमित या अनंत हो सकती है, और यदि परिमित है, तो पदों की संख्या गणनीय है, अन्यथा बेशुमार है।
आम तौर पर, एक प्रगति में तत्वों के योग को एक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक अंकगणितीय प्रगति का योग अंकगणितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। इसी तरह, एक ज्यामितीय प्रगति के योग को एक ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।
अंकगणित श्रृंखला के बारे में अधिक
एक अंकगणितीय श्रृंखला में, क्रमागत पदों में एक स्थिर अंतर होता है।
एसएन =ए1 + ए2 + ए3+ ए4 +⋯+ एn =∑i=1एमैं; जहां ए2 =ए1 + डी, ए3 =ए2 + डी, और इसी तरह।
इस अंतर d को सामान्य अंतर के रूप में जाना जाता है, और nth पद एक n =a द्वारा दिया जाता है 1+ (एन-1)डी; जहाँ a1 पहला पद है।
श्रृंखला का व्यवहार सामान्य अंतर के आधार पर बदलता है d. यदि सामान्य अंतर सकारात्मक है तो प्रगति सकारात्मक अनंत हो जाती है, और यदि सामान्य अंतर नकारात्मक है तो यह नकारात्मक अनंत की ओर जाता है।
श्रृंखला का योग निम्नलिखित सरल सूत्र द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, जिसे सबसे पहले भारतीय खगोलशास्त्री और गणितज्ञ आर्यभट्ट ने विकसित किया था।
Sn =n/2 (a1+ an)=n/2 [2ए1 + (एन-1)डी]
योग Sn पदों की संख्या के आधार पर या तो परिमित या अनंत हो सकता है।
ज्यामितीय श्रृंखला के बारे में अधिक
एक ज्यामितीय श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें क्रमिक संख्याओं का भागफल स्थिर होता है। श्रृंखला के अध्ययन में पाए जाने वाले गुणों के कारण यह एक महत्वपूर्ण श्रृंखला है।
Sn =ar + ar2 + ar3 +⋯+ ar n =∑i=1 ari
अनुपात r के आधार पर, श्रृंखला के व्यवहार को निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है। r={|r|≥1 श्रृंखला विचलन; r≤1 श्रृंखला अभिसरण}। इसके अलावा, यदि r<0 श्रृंखला दोलन करती है, अर्थात श्रृंखला में वैकल्पिक मान हैं।
ज्यामितीय श्रृंखला के योग की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है। एसn =ए(1-आर) / (1-आर); जहाँ a प्रारंभिक पद है और r अनुपात है। यदि अनुपात r≤1 है, तो श्रृंखला अभिसरण करती है। एक अनंत श्रृंखला के लिए, अभिसरण का मान Sn=a / (1-r) द्वारा दिया जाता है।
ज्यामितीय श्रृंखला में भौतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र के क्षेत्र में कई अनुप्रयोग हैं
अंकगणित और ज्यामितीय श्रृंखला में क्या अंतर है?
• एक अंकगणितीय श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें दो आसन्न पदों के बीच निरंतर अंतर होता है।
• एक ज्यामितीय श्रृंखला एक श्रृंखला है जिसमें दो क्रमिक पदों के बीच एक स्थिर भागफल होता है।
• सभी अनंत अंकगणितीय श्रृंखलाएं हमेशा भिन्न होती हैं, लेकिन अनुपात के आधार पर, ज्यामितीय श्रृंखला या तो अभिसरण या भिन्न हो सकती है।
• ज्यामितीय श्रृंखला में मूल्यों में दोलन हो सकते हैं; अर्थात्, संख्याएँ वैकल्पिक रूप से अपने चिन्ह बदलती हैं, लेकिन अंकगणितीय श्रृंखला में दोलन नहीं हो सकते।
