अंकगणित अनुक्रम और ज्यामितीय अनुक्रम के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-17 23:33

अंकगणित अनुक्रम बनाम ज्यामितीय अनुक्रम

गणित के क्षेत्र में संख्याओं के पैटर्न और उनके व्यवहार का अध्ययन एक महत्वपूर्ण अध्ययन है। अक्सर ये पैटर्न प्रकृति में देखे जा सकते हैं और वैज्ञानिक दृष्टिकोण से उनके व्यवहार को समझाने में हमारी मदद करते हैं। अंकगणितीय अनुक्रम और ज्यामितीय अनुक्रम दो मूल पैटर्न हैं जो संख्याओं में होते हैं, और अक्सर प्राकृतिक घटनाओं में पाए जाते हैं।

अनुक्रम क्रमित संख्याओं का समुच्चय है। अनुक्रम में तत्वों की संख्या या तो परिमित या अनंत हो सकती है।

अंकगणित अनुक्रम (अंकगणितीय प्रगति) के बारे में अधिक

एक अंकगणितीय अनुक्रम को संख्याओं के अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें प्रत्येक क्रमागत पद के बीच एक निरंतर अंतर होता है। इसे अंकगणितीय प्रगति के रूप में भी जाना जाता है।

अंकगणित अनुक्रम ⇒ ए₁, ए₂, ए_3, ए₄ ,…, एक_n; जहां ए₂ =ए₁ + डी, ए₃ =ए_{2+ डी, और इसी तरह।}

यदि प्रारंभिक पद a₁ है और सार्व अंतर d है, तो अनुक्रम का n^{th पद किसके द्वारा दिया जाता है;}

a_n =a_{1 + (n-1)d}

उपरोक्त परिणाम को और आगे ले जाकर, n^{th पद को इस प्रकार भी दिया जा सकता है;}

a_n =a_m + (n-m)d, जहां a_{m एक यादृच्छिक शब्द है क्रम में जैसे कि n > मी।}

सम संख्याओं का समुच्चय और विषम संख्याओं का समुच्चय अंकगणितीय अनुक्रमों के सबसे सरल उदाहरण हैं, जहाँ प्रत्येक अनुक्रम का एक सामान्य अंतर है (d) 2.

किसी क्रम में पदों की संख्या अनंत या परिमित हो सकती है।अनंत स्थिति (n →) में, अनुक्रम सामान्य अंतर (a_{n → ±∞) के आधार पर अनंत तक जाता है। यदि सार्व अंतर धनात्मक (d > 0) है, तो अनुक्रम धनात्मक अनंत की ओर प्रवृत्त होता है और यदि सामान्य अंतर ऋणात्मक (d < 0) है, तो यह ऋणात्मक अनंत की ओर प्रवृत्त होता है। यदि पद परिमित हैं, तो अनुक्रम भी परिमित है।}

अंकगणितीय अनुक्रम में पदों के योग को अंकगणितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है: S_n=a₁ + a ₂ + ए₃ + ए₄ + ⋯ + ए_एन =∑ i=1→n _ai; _{और S}n_{=(n/2) (a}1 _{+ a}n_{)=(n/2) [2a}1 _{+ (n-1)d] का मान देता है श्रृंखला (एस}एन)

ज्यामितीय अनुक्रम (ज्यामितीय प्रगति) के बारे में अधिक

एक ज्यामितीय अनुक्रम को एक अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें किन्हीं दो क्रमागत पदों का भागफल एक स्थिरांक होता है। इसे ज्यामितीय प्रगति के रूप में भी जाना जाता है।

ज्यामितीय अनुक्रम ⇒ a₁, a₂, a₃, a₄ ,…, एक_n; जहाँ एक₂/a₁=r, a₃/a_{2=r, इत्यादि, जहाँ r एक वास्तविक संख्या है।}

सामान्य अनुपात (r) और प्रारंभिक पद (a) का उपयोग करके ज्यामितीय अनुक्रम को निरूपित करना आसान है। इसलिए ज्यामितीय अनुक्रम ⇒ a₁, a₁r, a₁r^{2, ए}1_r3^{, …, ए}1_rn-1 ^।

एन^वें शब्दों का सामान्य रूप _n =a₁r द्वारा दिया गया है एन-1^{। (आरंभिक शब्द की सबस्क्रिप्ट खोना ⇒ a}n _=arn-1⁾

ज्यामितीय अनुक्रम परिमित या अनंत भी हो सकता है। यदि पदों की संख्या परिमित है, तो अनुक्रम को परिमित कहा जाता है। और यदि पद अनंत हैं, तो अनुपात r के आधार पर अनुक्रम या तो अनंत या परिमित हो सकता है। सामान्य अनुपात ज्यामितीय अनुक्रमों में कई गुणों को प्रभावित करता है।

आर > ओ	0 < आर < +1	अनुक्रम अभिसरण करता है - घातीय क्षय, अर्थात an → 0, n → ∞
	आर=1	निरंतर क्रम, यानी एकn=स्थिर
	आर > 1	सीक्वेंस डाइवर्ज करता है - एक्सपोनेंशियल ग्रोथ, यानी an → ∞, n → ∞
आर < 0	-1 < आर < 0	अनुक्रम दोलन कर रहा है, लेकिन अभिसरण करता है
	आर=1	अनुक्रम वैकल्पिक और स्थिर है, अर्थात an=±स्थिर
	आर < -1	अनुक्रम बारी-बारी से होता है और विचलन करता है। यानी an → ±∞, n → ∞
आर=0	अनुक्रम शून्य की एक स्ट्रिंग है

N. B: उपरोक्त सभी मामलों में, a₁ > 0; यदि a₁ < 0, a_{n से संबंधित चिह्न उलटे हो जाएंगे।}

एक गेंद के उछाल के बीच का समय अंतराल आदर्श मॉडल में एक ज्यामितीय अनुक्रम का अनुसरण करता है, और यह एक अभिसरण अनुक्रम है।

ज्यामितीय अनुक्रम के पदों के योग को एक ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में जाना जाता है; S_n =ar+ ar² + ar³ + ⋯ + arⁿ=∑_i=1→n ar^{i। ज्यामितीय श्रृंखला के योग की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।}

S_n =a(1-r^{)/(1-r); जहाँ a प्रारंभिक पद है और r अनुपात है।}

यदि अनुपात, r 1, श्रृंखला अभिसरण करती है। एक अनंत श्रृंखला के लिए, अभिसरण का मान S_{n=a/(1-r) द्वारा दिया जाता है}

अंकगणित और ज्यामितीय अनुक्रम/प्रगति में क्या अंतर है?

• अंकगणितीय अनुक्रम में, किन्हीं दो क्रमागत पदों में एक सार्व अंतर होता है (d) जबकि, ज्यामितीय अनुक्रम में, किन्हीं दो क्रमागत पदों का एक अचर भागफल (r) होता है।

• एक अंकगणितीय अनुक्रम में, पदों की भिन्नता रैखिक होती है, अर्थात सभी बिंदुओं से गुजरते हुए एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। एक ज्यामितीय श्रृंखला में, भिन्नता घातीय है; सामान्य अनुपात के आधार पर या तो बढ़ रहा है या क्षय हो रहा है।

• सभी अनंत अंकगणितीय अनुक्रम भिन्न हैं, जबकि अनंत ज्यामितीय श्रृंखला या तो भिन्न या अभिसरण हो सकती है।

• ज्यामितीय श्रृंखला दोलन दिखा सकती है यदि अनुपात r ऋणात्मक है जबकि अंकगणितीय श्रृंखला दोलन प्रदर्शित नहीं करती है