भेदभाव बनाम व्युत्पन्न
डिफरेंशियल कैलकुलस में, व्युत्पन्न और विभेदन निकटता से संबंधित हैं, लेकिन बहुत अलग हैं, और कार्यों से संबंधित दो महत्वपूर्ण गणितीय अवधारणाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।
व्युत्पन्न क्या है?
किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न उस दर को मापता है जिस पर फ़ंक्शन मान उसके इनपुट में परिवर्तन के रूप में बदलता है। बहु-चर फलनों में, फलन मान में परिवर्तन स्वतंत्र चरों के मानों के परिवर्तन की दिशा पर निर्भर करता है। इसलिए, ऐसे मामलों में, एक विशिष्ट दिशा का चयन किया जाता है और उस विशेष दिशा में कार्य को विभेदित किया जाता है।उस व्युत्पन्न को दिशात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है। आंशिक डेरिवेटिव एक विशेष प्रकार के दिशात्मक डेरिवेटिव हैं।
एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन के व्युत्पन्न f को सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है [latex]\\frac{df}{d\\boldsymbol{u}}=\\lim_{h \to 0}\\frac {f(\boldsymbol{x}+h \\boldsymbol{u})-f(\boldsymbol{x})}{h}[/latex] जहां भी यह अंतिम रूप से मौजूद है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह हमें सदिश u की दिशा में फलन f के बढ़ने की दर देता है। एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन के मामले में, यह व्युत्पन्न की प्रसिद्ध परिभाषा को कम कर देता है, [लेटेक्स]\\frac{df}{dx}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f (x+h)-f(x)}{h}[/latex]
उदाहरण के लिए, [लेटेक्स]f(x)=x^{3}+4x+5[/latex] हर जगह अवकलनीय है, और व्युत्पन्न सीमा के बराबर है, [लेटेक्स]\\lim_{h \\to 0}\\frac{(x+h)^{3}+4(x+h)+5-(x^{3}+4x+5)}{h}[/latex], जो है [लेटेक्स]3x^{2}+4[/latex] के बराबर। [लेटेक्स]ई^{x}, \\sin x, \\cos x[/latex] जैसे कार्यों के व्युत्पन्न हर जगह मौजूद हैं। वे क्रमशः [लेटेक्स]ई^{x}, \\cos x, - \\sin x[/latex] कार्यों के बराबर हैं।
इसे प्रथम व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। आमतौर पर फ़ंक्शन f का पहला व्युत्पन्न f (1) द्वारा निरूपित किया जाता है अब इस संकेतन का उपयोग करके, उच्च क्रम के डेरिवेटिव को परिभाषित करना संभव है। [लेटेक्स]\\frac{d^{2}f}{dx^{2}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(1)}(x+h)-f ^{(1)}(x)}{h}[/latex] दूसरा क्रम दिशात्मक व्युत्पन्न है, और f (n) द्वारा n th व्युत्पन्न को दर्शाता है प्रत्येक n, [लेटेक्स]\\frac{d^{n}f}{dx^{n}}=\\lim_{h \\to 0}\\frac{f^{(n) के लिए -1)}(x+h)-f^{(n-1)}(x)}{h}[/latex], n th व्युत्पन्न को परिभाषित करता है।
भेदभाव क्या है?
भेदभाव एक अवकलनीय फलन का अवकलज ज्ञात करने की प्रक्रिया है। डी द्वारा निरूपित डी-ऑपरेटर कुछ संदर्भों में भेदभाव का प्रतिनिधित्व करता है। यदि x स्वतंत्र चर है, तो D ≡ d/dx । D-ऑपरेटर एक रैखिक संचालिका है, अर्थात किन्हीं दो अवकलनीय फलनों f और g और स्थिरांक c के लिए, निम्नलिखित गुण धारण करते हैं।
मैं। डी (एफ + जी)=डी (एफ) + डी (जी)
द्वितीय। डी (सीएफ)=सीडी (एफ)
डी-ऑपरेटर के प्रयोग से विभेदन से जुड़े अन्य नियमों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है। डी (एफ जी)=डी (एफ) जी + एफ डी (जी), डी (f/ g)=[डी (च) जी - एफ डी (जी)]/ जी 2 और डी (एफ ओ जी)=(डी (एफ) ओ जी) डी (जी)।
उदाहरण के लिए, जब F(x)=x 2sin x को दिए गए नियमों का उपयोग करके x के संबंध में विभेदित किया जाता है, तो उत्तर होगा 2 x sin x + x2cos x.
भेदभाव और व्युत्पन्न में क्या अंतर है?• व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को संदर्भित करता है • विभेदन एक फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने की प्रक्रिया है। |
