असतत कार्य बनाम सतत कार्य
फ़ंक्शन गणितीय वस्तुओं के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक हैं, जो गणित के लगभग सभी उप क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। जैसा कि उनके नाम से पता चलता है कि असतत कार्य और निरंतर कार्य दो विशेष प्रकार के कार्य हैं।
एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच इस तरह से परिभाषित एक संबंध है कि पहले सेट में प्रत्येक तत्व के लिए, दूसरे सेट में इसके अनुरूप मान अद्वितीय है। मान लीजिए f समुच्चय A से समुच्चय B में परिभाषित एक फलन है। फिर प्रत्येक x A के लिए, प्रतीक f (x) सेट B में अद्वितीय मान को दर्शाता है जो x के संगत है।इसे f के अंतर्गत x का प्रतिबिम्ब कहते हैं। इसलिए, A से B में संबंध f एक फलन है, यदि और केवल यदि के लिए, प्रत्येक xϵ A और y ϵ A; अगर एक्स=वाई तो एफ (एक्स)=एफ (वाई)। समुच्चय A को फलन f का प्रांत कहा जाता है, और यह वह समुच्चय है जिसमें फलन परिभाषित होता है।
उदाहरण के लिए, प्रत्येक xϵ A के लिए f (x)=x + 2 द्वारा परिभाषित R से R में संबंध f पर विचार करें। यह एक फलन है जिसका प्रांत R है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या x और y के लिए x=y का अर्थ है f (x)=x + 2=y + 2=f (y)। लेकिन जी (एक्स)=ए द्वारा परिभाषित एन से एन में संबंध जी, जहां 'ए' एक्स का एक प्रमुख कारक है, जी (6)=3, साथ ही जी (6)=2 के रूप में एक फ़ंक्शन नहीं है।
असतत कार्य क्या है?
एक असतत फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका डोमेन सबसे अधिक गणना योग्य है। बस, इसका मतलब है कि एक सूची बनाना संभव है जिसमें डोमेन के सभी तत्व शामिल हों।
कोई भी परिमित समुच्चय अधिकतम गणनीय होता है। प्राकृत संख्याओं का समुच्चय और परिमेय संख्याओं का समुच्चय अधिकतम गणनीय अनंत समुच्चयों के उदाहरण हैं।वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय अधिक से अधिक गणनीय नहीं है। दोनों सेट बेशुमार हैं। इसका मतलब है कि उन सेटों के सभी तत्वों को शामिल करने वाली सूची बनाना असंभव है।
सबसे आम असतत कार्यों में से एक फैक्टोरियल फ़ंक्शन है। f:N U{0}→N प्रत्येक n 1 और f (0)=1 के लिए f (n)=n f (n-1) द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित को भाज्य फलन कहते हैं। ध्यान दें कि इसका डोमेन N U{0} अधिक से अधिक गणनीय है।
एक सतत कार्य क्या है?
चलो f एक ऐसा फलन है कि f के डोमेन में प्रत्येक k के लिए, f (x)→ f (k) x → k के रूप में। तब f एक सतत फलन है। इसका मतलब यह है कि f (x) को f (k) के करीब f (k) बनाना संभव है, x को f के डोमेन में प्रत्येक k के लिए पर्याप्त रूप से k के करीब बनाकर।
R पर फलन f (x)=x + 2 पर विचार करें। यह देखा जा सकता है कि x → k, x + 2 → k + 2 अर्थात् f (x)→ f (k) है। अतः f एक सतत फलन है। अब, धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर g (x)=1 पर विचार करें यदि x > 0 और g (x)=0 यदि x=0 है।फिर, यह फलन एक सतत फलन नहीं है क्योंकि g (x) की सीमा मौजूद नहीं है (और इसलिए यह g (0) के बराबर नहीं है) क्योंकि x → 0.
असतत और निरंतर कार्य के बीच क्या अंतर है?
• एक असतत फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका डोमेन सबसे अधिक गणना योग्य है लेकिन निरंतर कार्यों में ऐसा नहीं होना चाहिए।
• सभी सतत फलन में यह गुण होता है कि ƒ(x)→ƒ(k) प्रत्येक x के लिए x → k के रूप में और ƒ के डोमेन में प्रत्येक k के लिए, लेकिन कुछ असतत कार्यों में ऐसा नहीं है।.
