एकीकरण और भेदभाव के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

एकीकरण बनाम भेदभाव

कलन में एकीकरण और विभेदन दो मूलभूत अवधारणाएं हैं, जो परिवर्तन का अध्ययन करती हैं। कैलकुलस के कई क्षेत्रों जैसे विज्ञान, अर्थव्यवस्था या वित्त, इंजीनियरिंग और आदि में कई तरह के अनुप्रयोग हैं।

भेदभाव

विभेदन अवकलजों की गणना की बीजगणितीय प्रक्रिया है। किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी भी बिंदु पर वक्र (ग्राफ) का ढलान या ढाल है। किसी दिए गए बिंदु पर वक्र का ग्रेडिएंट दिए गए बिंदु पर उस वक्र पर खींची गई स्पर्शरेखा का ग्रेडिएंट होता है। गैर रेखीय वक्रों के लिए, वक्र की ढाल अक्ष के साथ विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न हो सकती है।इसलिए, किसी भी बिंदु पर ढाल या ढलान की गणना करना मुश्किल है। अवकलन प्रक्रिया किसी भी बिंदु पर वक्र की प्रवणता की गणना करने में उपयोगी होती है।

डेरिवेटिव के लिए एक और परिभाषा है, "एक इकाई के संबंध में एक संपत्ति का परिवर्तन दूसरी संपत्ति के परिवर्तन।"

मान लीजिए f(x) एक स्वतंत्र चर x का एक फलन है। यदि स्वतंत्र चर x में एक छोटा परिवर्तन (∆x) होता है, तो फलन f(x) में संगत परिवर्तन ∆f(x) होता है; तो अनुपात f(x)/∆x x के संबंध में f(x) के परिवर्तन की दर का एक उपाय है। इस अनुपात का सीमा मान, जैसा कि x शून्य की ओर प्रवृत्त होता है, lim_{∆x→0(f(x)/∆x) को फलन f(x) का प्रथम अवकलज कहा जाता है।, एक्स के संबंध में; दूसरे शब्दों में, दिए गए बिंदु x पर f(x) का तात्कालिक परिवर्तन।}

एकीकरण

एकीकरण निश्चित अभिन्न या अनिश्चित अभिन्न की गणना करने की प्रक्रिया है। एक वास्तविक फलन f(x) और एक बंद अंतराल [a, b] के लिए वास्तविक रेखा पर, निश्चित समाकल, _a∫^{b f(x), को फ़ंक्शन के ग्राफ़, क्षैतिज अक्ष और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर दो लंबवत रेखाओं के बीच के क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया गया है।जब एक विशिष्ट अंतराल नहीं दिया जाता है, तो इसे अनिश्चितकालीन समाकलन के रूप में जाना जाता है। एंटी-डेरिवेटिव का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न की गणना की जा सकती है।}

एकीकरण और भेदभाव में क्या अंतर है?

एकीकरण और विभेदन के बीच का अंतर "वर्गमूल" और "वर्गमूल लेना" के बीच के अंतर की तरह है। यदि हम एक धनात्मक संख्या का वर्ग करते हैं और फिर परिणाम का वर्गमूल लेते हैं, तो धनात्मक वर्गमूल मान वह संख्या होगी जिसे आपने चुकता किया था। इसी तरह, यदि आप परिणाम पर एकीकरण लागू करते हैं, जिसे आपने एक सतत फलन f(x) में अंतर करके प्राप्त किया है, तो यह मूल फलन पर वापस ले जाएगा और इसके विपरीत।

उदाहरण के लिए, मान लें कि F(x) फलन f(x)=x का अभिन्न अंग है, इसलिए, F(x)=∫f(x)dx=(x^{2 /2) + c, जहाँ c एक मनमाना स्थिरांक है। F(x) को x से अवकलित करने पर हमें प्राप्त होता है, F' (x)=dF(x)/dx=(2x/2) + 0=x, इसलिए, F(x) का अवकलज f के बराबर होता है। एक्स).}

सारांश

– विभेदन वक्र के ढलान की गणना करता है, जबकि एकीकरण वक्र के नीचे के क्षेत्र की गणना करता है।

– एकीकरण भेदभाव की विपरीत प्रक्रिया है और इसके विपरीत।