एकीकरण बनाम योग
उपरोक्त हाई स्कूल गणित में, गणितीय कार्यों में अक्सर एकीकरण और योग पाया जाता है। वे प्रतीत होता है कि विभिन्न उपकरणों के रूप में और विभिन्न स्थितियों में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन वे बहुत करीबी संबंध साझा करते हैं।
सारांश के बारे में अधिक
संख्याओं के एक क्रम को जोड़ने की क्रिया को योग कहते हैं और इस संक्रिया को अक्सर ग्रीक अक्षर के कैपिटल से दर्शाया जाता है। इसका उपयोग योग को संक्षिप्त करने और अनुक्रम के योग/कुल के बराबर करने के लिए किया जाता है। वे अक्सर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जो अनिवार्य रूप से अनंत अनुक्रमों को अभिव्यक्त करते हैं।इनका उपयोग सदिशों, आव्यूहों या बहुपदों के योग को दर्शाने के लिए भी किया जा सकता है।
योग आमतौर पर मूल्यों की एक श्रृंखला के लिए किया जाता है जिसे एक सामान्य शब्द द्वारा दर्शाया जा सकता है, जैसे एक श्रृंखला जिसमें एक सामान्य शब्द होता है। योग के शुरुआती बिंदु और अंतिम बिंदु को क्रमशः निचली सीमा और ऊपरी सीमा के रूप में जाना जाता है।
उदाहरण के लिए, अनुक्रम का योग a1, a2, a3, a 4, …, एकn एक 1 + एक2 + एक है 3 + … + an जिसे ∑ के रूप में योग संकेतन का उपयोग करके आसानी से दर्शाया जा सकता है मैं=1 एमैं; i को योग का सूचकांक कहा जाता है।
आवेदन के आधार पर योग के लिए कई रूपों का उपयोग किया जाता है। कुछ मामलों में, ऊपरी सीमा और निचली सीमा को अंतराल या श्रेणी के रूप में दिया जा सकता है, जैसे ∑1≤i≤100 ai और ∑i∈[1, 100] ai या इसे i∈P जैसे नंबरों के सेट के रूप में दिया जा सकता है ai, जहां P एक परिभाषित समुच्चय है।
कुछ मामलों में, दो या दो से अधिक सिग्मा संकेतों का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन उन्हें निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है; j k ajk =j, k a जेके.
साथ ही, योग कई बीजीय नियमों का पालन करता है। चूंकि एम्बेडेड ऑपरेशन जोड़ है, बीजगणित के कई सामान्य नियमों को योग पर और योग द्वारा दर्शाए गए व्यक्तिगत शब्दों के लिए लागू किया जा सकता है।
एकीकरण के बारे में अधिक
एकीकरण को विभेदीकरण की विपरीत प्रक्रिया के रूप में परिभाषित किया गया है। लेकिन इसकी ज्यामितीय दृष्टि से इसे फलन के वक्र और अक्ष से घिरा क्षेत्र भी माना जा सकता है। अत: क्षेत्रफल की गणना से एक निश्चित समाकल का मान प्राप्त होता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
छवि स्रोत:
निश्चित समाकल का मान वास्तव में वक्र और अक्ष के अंदर की छोटी पट्टियों का योग होता है। प्रत्येक पट्टी का क्षेत्रफल माना अक्ष पर बिंदु पर ऊँचाई × चौड़ाई है। चौड़ाई वह मान है जिसे हम चुन सकते हैं, मान लीजिए x। और ऊंचाई लगभग माना बिंदु पर फ़ंक्शन का मान है, f (xi) कहें। आरेख से, यह स्पष्ट है कि छोटी पट्टियां बेहतर होती हैं कि पट्टियां बंधे हुए क्षेत्र के अंदर फिट होती हैं, इसलिए मान का बेहतर अनुमान होता है।
इसलिए, सामान्य रूप से निश्चित अभिन्न I, बिंदुओं के बीच a और b (अर्थात अंतराल में [a, b] जहां a<b), I ≅ f (x1) के रूप में दिया जा सकता है)∆x + f (x2)∆x + + f (xn)∆x, जहां n स्ट्रिप्स की संख्या है (एन=(बी-ए) / ∆x)। I i=1 f (xi) के रूप में क्षेत्र के इस योग को आसानी से योग संकेतन का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।)∆x.चूंकि x छोटा होने पर सन्निकटन बेहतर होता है, हम ∆x→0 होने पर मान की गणना कर सकते हैं। इसलिए, I=lim∆x→0 ∑i=1 f (एक्समैं)∆x.
उपरोक्त अवधारणा से एक सामान्यीकरण के रूप में, हम i द्वारा अनुक्रमित माना अंतराल के आधार पर ∆x चुन सकते हैं (स्थिति के आधार पर क्षेत्र की चौड़ाई का चयन)। तब हमेंमिलता है
I=lim∆x→0 ∑i=1 f (x मैं) ∆xमैं=a∫ख एफ (एक्स)डीएक्स
इसे अंतराल [a, b] में फलन f (x) के रीमैन इंटीग्रल के रूप में जाना जाता है। इस मामले में a और b को इंटीग्रल की अपर बाउंड और लोअर बाउंड के रूप में जाना जाता है। रीमैन इंटीग्रल सभी एकीकरण विधियों का एक मूल रूप है।
संक्षेप में, एकीकरण उस क्षेत्र का योग है जब आयत की चौड़ाई अनंत होती है।
एकीकरण और योग में क्या अंतर है?
• संख्याओं के एक क्रम को जोड़ना योग कहलाता है। आमतौर पर, योग इस रूप में दिया जाता है ∑i=1 ai जब अनुक्रम में पद एक पैटर्न है और एक सामान्य शब्द का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।
• एकीकरण मूल रूप से फ़ंक्शन के वक्र, अक्ष और ऊपरी और निचली सीमाओं से घिरा क्षेत्र है। इस क्षेत्र को परिबद्ध क्षेत्र में शामिल बहुत छोटे क्षेत्रों के योग के रूप में दिया जा सकता है।
• सारांश में ऊपरी और निचली सीमाओं के साथ असतत मान शामिल हैं, जबकि एकीकरण में निरंतर मान शामिल हैं।
• समाकलन की व्याख्या एक विशेष प्रकार के योग के रूप में की जा सकती है।
• संख्यात्मक गणना विधियों में, एकीकरण हमेशा एक योग के रूप में किया जाता है।
