मुख्य अंतर - अभिधारणा बनाम प्रमेय
अभिधारणा और प्रमेय दो सामान्य शब्द हैं जिनका उपयोग अक्सर गणित में किया जाता है। अभिधारणा एक ऐसा कथन है जिसे बिना प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है। एक प्रमेय एक कथन है जिसे सत्य सिद्ध किया जा सकता है। यह अभिधारणा और प्रमेय के बीच महत्वपूर्ण अंतर है। प्रमेय अक्सर अभिधारणाओं पर आधारित होते हैं।
एक अभिधारणा क्या है?
एक अभिधारणा एक ऐसा कथन है जिसे बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है। ऑक्सफ़ोर्ड डिक्शनरी द्वारा अभिधारणा को "तर्क, चर्चा, या विश्वास के आधार के रूप में सुझाई गई या सत्य के रूप में माना जाता है" के रूप में परिभाषित किया गया है और अमेरिकन हेरिटेज डिक्शनरी द्वारा "कुछ ऐसा माना जाता है जो बिना सबूत के स्वयं स्पष्ट या आम तौर पर स्वीकार किया जाता है, खासकर जब इस्तेमाल किया जाता है तर्क के आधार के रूप में"।
अभिधारणाओं को अभिगृहीत भी कहा जाता है। अभिधारणाओं को सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि वे स्पष्ट रूप से सही हैं। उदाहरण के लिए, यह कथन कि दो बिंदु एक रेखा बनाते हैं, एक अभिधारणा है। अभिधारणाएँ वे आधार हैं जिनसे प्रमेय और लेम्मा बनाए जाते हैं। एक प्रमेय एक या एक से अधिक अभिधारणाओं से प्राप्त किया जा सकता है।
नीचे कुछ बुनियादी विशेषताएं दी गई हैं जो सभी अभिधारणाओं में होती हैं:
- अभिधारणाओं को समझना आसान होना चाहिए - उनमें बहुत सारे शब्द नहीं होने चाहिए जो समझने में मुश्किल हों।
- अन्य अभिधारणाओं के साथ संयुक्त होने पर उन्हें सुसंगत होना चाहिए।
- उनके पास स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की क्षमता होनी चाहिए।
हालाँकि, कुछ अभिधारणाएँ - जैसे आइंस्टाइन की यह अभिधारणा कि ब्रह्मांड समरूप है - हमेशा सही नहीं होती हैं। एक नई खोज के बाद एक अभिधारणा स्पष्ट रूप से गलत हो सकती है।
यदि आंतरिक कोणों का योग α और β 180° से कम है, तो दो सीधी रेखाएं, जो अनिश्चित काल तक बनी रहती हैं, उस तरफ मिलती हैं।
प्रमेय क्या है?
प्रमेय एक कथन है जिसे सत्य सिद्ध किया जा सकता है। ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी ने प्रमेय को एक "सामान्य प्रस्ताव के रूप में परिभाषित किया है जो स्वयं स्पष्ट नहीं है बल्कि तर्क की एक श्रृंखला द्वारा सिद्ध है; स्वीकृत सत्य के माध्यम से स्थापित एक सत्य" और मरियम-वेबस्टर इसे "गणित या तर्क में एक सूत्र, प्रस्ताव, या कथन के रूप में परिभाषित करता है या अन्य सूत्रों या प्रस्तावों से घटाया जाता है"।
प्रमेय तार्किक तर्क द्वारा या अन्य प्रमेयों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है जो पहले ही सत्य सिद्ध हो चुके हैं। एक प्रमेय जिसे दूसरे प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सिद्ध करना पड़ता है, लेम्मा कहलाता है।लेम्मा और प्रमेय दोनों अभिधारणाओं पर आधारित हैं। एक प्रमेय में आमतौर पर दो भाग होते हैं जिन्हें परिकल्पना और निष्कर्ष के रूप में जाना जाता है। पाइथागोरस प्रमेय, चार रंग प्रमेय, और फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय प्रमेयों के कुछ उदाहरण हैं।
पाइथागोरस प्रमेय की कल्पना
अभिधारणा और प्रमेय में क्या अंतर है?
परिभाषा:
अभिधारणा: अभिधारणा को "एक कथन के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे तर्क या अनुमान के आधार के रूप में सत्य के रूप में स्वीकार किया गया है।"
प्रमेय: प्रमेय को सामान्य प्रस्ताव के रूप में परिभाषित किया गया है जो स्वयं स्पष्ट नहीं है बल्कि तर्क की एक श्रृंखला द्वारा सिद्ध है; स्वीकृत सत्य के माध्यम से स्थापित एक सत्य।
सबूत:
अभिधारणा: अभिधारणा एक ऐसा कथन है जिसे बिना किसी प्रमाण के सत्य मान लिया जाता है।
प्रमेय: एक प्रमेय एक कथन है जिसे सत्य सिद्ध किया जा सकता है।
संबंध:
अभिधारणा: अभिधारणाएं प्रमेयों और लेम्मा का आधार हैं।
प्रमेय: प्रमेय अभिधारणाओं पर आधारित हैं।
साबित करने की आवश्यकता:
पोस्टुलेट: अभिधारणाओं को सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि वे स्पष्ट बताते हैं।
प्रमेय: प्रमेयों को तार्किक तर्क द्वारा या अन्य प्रमेयों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है जो सत्य सिद्ध हो चुके हैं।
