मीन बनाम मेडियन बनाम मोड
माध्य, माध्यिका और बहुलक वर्णनात्मक सांख्यिकी में प्रयुक्त केंद्रीय प्रवृत्ति के प्राथमिक माप हैं। वे एक दूसरे से पूरी तरह से अलग हैं और जिन मामलों में डेटा को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए उनका उपयोग किया जाता है, वे भी भिन्न होते हैं।
मीन
अंकगणितीय माध्य डेटा मानों की संख्या से विभाजित डेटा मानों का योग है, अर्थात
[लेटेक्स]\बार{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}=\frac{x_{1}+x_{2} +x_{3}+…+x_{n}}{n}[/latex]
यदि डेटा एक नमूना स्थान से है तो इसे एक नमूना माध्य ([लेटेक्स]\बार{x} [/latex]) कहा जाता है, जो नमूने का एक वर्णनात्मक आँकड़ा है।हालांकि यह एक नमूने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला वर्णनात्मक उपाय है, यह एक मजबूत आँकड़ा नहीं है। यह बाहरी और दोलनों के प्रति बहुत संवेदनशील है।
उदाहरण के लिए, किसी विशेष शहर के नागरिकों की औसत आय पर विचार करें। चूंकि सभी डेटा मूल्यों को जोड़ दिया जाता है और फिर विभाजित किया जाता है, एक अत्यंत धनी व्यक्ति की आय माध्य को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित करती है। इसलिए, माध्य मान हमेशा डेटा का अच्छा प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।
इसके अलावा, एक वैकल्पिक संकेत के मामले में, एक तत्व के माध्यम से गुजरने वाली धारा समय-समय पर सकारात्मक दिशा से नकारात्मक दिशा में बदलती है और इसके विपरीत। यदि हम एक ही आवर्त में तत्व से गुजरने वाली औसत धारा लेते हैं, तो यह 0 देगा, जिसका अर्थ है कि कोई भी धारा उस तत्व से नहीं गुजरी है, जो स्पष्ट रूप से सत्य नहीं है। इसलिए, इस मामले में भी, अंकगणितीय माध्य एक अच्छा उपाय नहीं है।
अंकगणितीय माध्य एक अच्छा संकेतक है जब डेटा समान रूप से वितरित किया जाता है।एक सामान्य वितरण के लिए, माध्य बहुलक और माध्यिका के बराबर होता है। मूल माध्य चुकता त्रुटि पर विचार करते समय इसमें सबसे कम अवशेष भी होते हैं; इसलिए, सबसे अच्छा वर्णनात्मक उपाय जब किसी एकल संख्या द्वारा डेटासेट का प्रतिनिधित्व करना आवश्यक होता है।
माध्यिका
सभी डेटा मानों को आरोही क्रम में व्यवस्थित करने के बाद मध्य डेटा बिंदु के मान को डेटासेट के माध्यिका के रूप में परिभाषित किया जाता है। माध्यिका दूसरा चतुर्थक, 5वाँ दशमक और 50 वाँ प्रतिशतक है।
• यदि प्रेक्षणों की संख्या (डेटा बिंदु) विषम है, तो माध्यिका क्रमित सूची के ठीक बीच में प्रेक्षण है।
• यदि प्रेक्षणों की संख्या (डेटा बिंदु) सम है, तो माध्यिका क्रमित सूची में दो मध्य प्रेक्षणों का माध्य है।
माध्यिका अवलोकन को दो समूहों में विभाजित करती है; यानी उच्च मूल्यों का एक समूह (50%) और माध्यिका से कम मूल्यों का एक समूह (50%)। माध्यिकाएँ विशेष रूप से विषम वितरणों में उपयोग की जाती हैं और अंकगणितीय माध्य की तुलना में डेटा को काफी बेहतर तरीके से प्रस्तुत करती हैं।
मोड
मोड प्रेक्षणों के समुच्चय में सबसे अधिक आने वाली संख्या है। डेटा सेट के मोड की गणना सेट के भीतर प्रत्येक तत्व की आवृत्ति का पता लगाकर की जाती है।
• यदि कोई मान एक से अधिक बार नहीं आता है, तो डेटा सेट में कोई मोड नहीं होता है।
• अन्यथा, उच्चतम आवृत्ति के साथ होने वाला कोई भी मान डेटा सेट का एक तरीका है।
एक सेट में 1 से अधिक मोड मौजूद हो सकते हैं; इसलिए, मोड किसी डेटासेट का अद्वितीय आँकड़ा नहीं है। एक समान वितरण में, एक विधा होती है। असतत संभाव्यता वितरण का तरीका वह बिंदु है जहां संभाव्यता द्रव्यमान कार्य अपने उच्चतम बिंदु तक पहुंचता है। उपरोक्त व्याख्याओं से प्रतिपादन करते हुए, हम कह सकते हैं कि वैश्विक मैक्सिमा मोड हैं।
निम्नलिखित डेटा सेट में तीनों उपायों के अनुप्रयोग पर विचार करें।
डेटा: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15, 15}
माध्य=(1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15) / 25=8.12
माध्यिका=9 (13वां तत्व)
मोड=9 (9 की आवृत्ति=5)
मीन, मेडियन और मोड में क्या अंतर है?
• अंकगणित माध्य प्रेक्षणों की संख्या से विभाजित मानों (अवलोकनों) का योग है। यह एक मजबूत आँकड़ा नहीं है, और माना जाने वाले वितरण के भीतर सामान्य वितरण प्रकृति पर बहुत अधिक निर्भर है। अपेक्षाकृत भ्रामक मान देने वाले माध्य में एक एकल बाहरी महत्वपूर्ण बदलाव का कारण हो सकता है। अवधारणा को ज्यामितीय माध्य, हार्मोनिक माध्य, भारित माध्य आदि तक बढ़ाया जा सकता है।
• माध्यिका प्रेक्षणों के समुच्चय का मध्य मान है, और यह बाहरी लोगों से अपेक्षाकृत कम प्रभावित होता है। यह अत्यधिक विषम मामलों में सारांश आँकड़ों के रूप में एक अच्छा अनुमान दे सकता है।
• डेटासेट में मोड सबसे आम अवलोकन मान है। यदि बंटन धनात्मक विषम है, तो बहुलक माध्यिका के बाएँ होता है और यदि ऋणात्मक रूप से विषम होता है, तो बहुलक मध्यिका के दाएँ होता है।
• यदि धनात्मक रूप से विषम है, तो माध्य माध्यिका के लिए सही है; यदि ऋणात्मक रूप से विषम माध्य माध्यिका के बाईं ओर है।
• सामान्य वितरण में, तीनों, माध्य, बहुलक और माध्यिका समान हैं।
