ऊंचाई बनाम माध्यिका
किसी त्रिभुज की ज्यामिति पर चर्चा करते समय ऊँचाई और माध्यिका दो ऊँचाईयों का उपयोग किया जाता है।
एक त्रिभुज की ऊंचाई
एक त्रिभुज की ऊंचाई एक रेखाखंड है जो एक तरफ लंबवत होता है और भुजा के विपरीत शीर्ष से होकर गुजरता है। चूँकि एक त्रिभुज की 3 भुजाएँ होती हैं, उनमें से प्रत्येक की प्रति भुजा एक अद्वितीय ऊँचाई होती है, जिससे प्रति त्रिभुज कुल 3 ऊँचाई होती है। जिस तरफ की ऊंचाई लंबवत होती है उसे ऊंचाई के विस्तारित आधार के रूप में जाना जाता है।
ऊंचाई को आमतौर पर h (ऊंचाई के अनुसार) अक्षर से दर्शाया जाता है।
ऊंचाइयों का उपयोग विशेष रूप से त्रिभुजों के क्षेत्रफल की गणना में किया जाता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उसकी ऊँचाई और उसके आधार के गुणनफल का आधा होता है।
क्षेत्र=1/2 ऊंचाई×आधार=1/2 एच×बी
साथ ही, भुजाओं से तीन ऊंचाईयों के प्रतिच्छेदन बिंदु को लंबकेन्द्र के रूप में जाना जाता है। ऑर्थोसेंटर त्रिभुज के भीतर स्थित होता है यदि और केवल यदि त्रिभुज एक न्यून त्रिभुज हो।
एक त्रिभुज की माध्यिका
एक माध्यिका एक रेखाखंड है जो एक भुजा के मध्य बिंदु और उस भुजा के विपरीत शीर्ष से होकर गुजरती है। माध्यिका शीर्ष के कोण को समद्विभाजित करती है। यह त्रिभुज के क्षेत्रफल को भी आधे में विभाजित करता है। इसी तरह ऊँचाई, प्रत्येक पक्ष के लिए एक अद्वितीय माध्यिका होती है; इसलिए प्रत्येक त्रिभुज की तीन माध्यिकाएँ होती हैं।तीनों माध्यिकाएं मिलकर त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती हैं। (आरेख देखें)
त्रिभुज की तीन माध्यिकाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जो प्रत्येक माध्यिका को 2:1 के अनुपात में विभाजित करती है। इसे त्रिभुज के केन्द्रक के रूप में जाना जाता है और एक समान लामिना त्रिभुज के लिए द्रव्यमान का केंद्र यहाँ स्थित होता है।
ऑर्थोसेंटर और माध्यिका दोनों यूलर लाइन पर स्थित हैं, जिसमें त्रिभुज का परिकेंटर भी शामिल है।
ऊंचाई और माध्यिका में क्या अंतर है?
• ऊंचाई और माध्यिका दोनों एक शीर्ष से गुजरते हैं, लेकिन ऊंचाई विपरीत दिशा से समकोण पर गुजरती है; यानी भुजा के लंबवत, जबकि माध्यिका विरोधी पक्ष के मध्य बिंदु से होकर गुजरती है।
• त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए ऊंचाई का उपयोग किया जाता है।
• एक एकल माध्यिका त्रिभुज के क्षेत्रफल को आधे में विभाजित करती है और तीनों त्रिभुज को समान क्षेत्रफल वाले छह छोटे त्रिभुजों में विभाजित करती है।
• माध्यिकाएं केंद्रक पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि ऊंचाई लंबकेंद्र पर प्रतिच्छेद करती हैं।
• लंबकेन्द्र त्रिभुज के क्षेत्र के अंदर या बाहर हो सकता है, लेकिन केन्द्रक हमेशा त्रिभुज के क्षेत्र में स्थित होता है।
