ऑर्थोगोनल बनाम ऑर्थोनॉर्मल
गणित में, दो शब्द ऑर्थोगोनल और ऑर्थोनॉर्मल अक्सर वैक्टर के एक सेट के साथ उपयोग किए जाते हैं। यहाँ, 'वेक्टर' शब्द का प्रयोग इस अर्थ में किया गया है कि यह एक सदिश समष्टि का एक तत्व है - रैखिक बीजगणित में प्रयुक्त एक बीजगणितीय संरचना। हमारी चर्चा के लिए, हम एक आंतरिक-उत्पाद स्थान पर विचार करेंगे - एक सदिश स्थान V के साथ-साथ V पर परिभाषित एक आंतरिक उत्पाद ।
एक उदाहरण के रूप में, एक आंतरिक उत्पाद के लिए, अंतरिक्ष सामान्य डॉट उत्पाद के साथ सभी 3-आयामी स्थिति वैक्टर का सेट है।
ऑर्थोगोनल क्या है?
एक आंतरिक उत्पाद स्थान V के एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S को ओर्थोगोनल कहा जाता है, यदि और केवल यदि प्रत्येक विशिष्ट u के लिए, v में S, [u, v]=0; यानी u और v का आंतरिक उत्पाद आंतरिक उत्पाद स्थान में शून्य अदिश के बराबर है।
उदाहरण के लिए, सभी 3-आयामी स्थिति वैक्टर के सेट में, यह कहने के बराबर है कि, प्रत्येक विशिष्ट जोड़ी के लिए स्थिति वैक्टर p और q में S, p और q एक दूसरे के लंबवत हैं। (याद रखें कि इस वेक्टर स्पेस में आंतरिक उत्पाद डॉट उत्पाद है। साथ ही, दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद 0 के बराबर होता है यदि और केवल तभी जब दो वेक्टर एक दूसरे के लंबवत हों।)
समुच्चय S={(0, 2, 0), (4, 0, 0), (0, 0, 5)} पर विचार करें, जो त्रिविमीय स्थिति सदिशों का एक उपसमुच्चय है। ध्यान दें कि (0, 2, 0)। (4, 0, 0)=0, (4, 0, 0)। (0, 0, 5)=0 और (0, 2, 0)। (0, 0, 5)=0. इसलिए, समुच्चय S ओर्थोगोनल है। विशेष रूप से, दो वैक्टर को ऑर्थोगोनल कहा जाता है यदि उनका आंतरिक उत्पाद 0 है। इसलिए, सिस ऑर्थोगोनल में वैक्टर की प्रत्येक जोड़ी।
ऑर्थोनॉर्मल क्या है?
एक आंतरिक उत्पाद स्थान V का एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S को ऑर्थोनॉर्मल कहा जाता है यदि और केवल यदि S ओर्थोगोनल है और S में प्रत्येक वेक्टर u के लिए, [u, u]=1. इसलिए, यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक ऑर्थोनॉर्मल सेट ओर्थोगोनल है लेकिन इसके विपरीत नहीं।
उदाहरण के लिए, सभी 3-आयामी स्थिति वैक्टर के सेट में, यह कहने के बराबर है कि, प्रत्येक विशिष्ट जोड़ी के लिए स्थिति वैक्टर p और q में S, p और q एक दूसरे के लंबवत हैं, और के लिए एस में प्रत्येक पी, |पी|=1. ऐसा इसलिए है क्योंकि स्थिति [p, p]=1 कम होकर p.p=|p||p|cos0=|p|2=1 हो जाती है, जो |p के बराबर है |=1. इसलिए, एक ओर्थोगोनल सेट दिया गया है, हम हमेशा प्रत्येक वेक्टर को उसके परिमाण से विभाजित करके एक संबंधित ऑर्थोनॉर्मल सेट बना सकते हैं।
T={(0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 0, 1)} सभी 3-आयामी स्थिति वैक्टर के सेट का एक ऑर्थोनॉर्मल सबसेट है। यह देखना आसान है कि यह समुच्चय S के प्रत्येक सदिश को उनके परिमाणों से विभाजित करके प्राप्त किया गया था।
ऑर्थोगोनल और ऑर्थोनॉर्मल में क्या अंतर है?
- एक आंतरिक उत्पाद स्थान V के एक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S को ओर्थोगोनल कहा जाता है, यदि और केवल यदि प्रत्येक विशिष्ट u के लिए, v में S, [u, v]=0. हालांकि, यह ऑर्थोनॉर्मल है, यदि और केवल अगर एक अतिरिक्त शर्त - एस में प्रत्येक वेक्टर यू के लिए, [यू, यू]=1 संतुष्ट है।
- कोई भी ऑर्थोनॉर्मल सेट ओर्थोगोनल है लेकिन इसके विपरीत नहीं।
- कोई भी ऑर्थोगोनल सेट एक अद्वितीय ऑर्थोनॉर्मल सेट से मेल खाता है लेकिन एक ऑर्थोनॉर्मल सेट कई ऑर्थोगोनल सेट के अनुरूप हो सकता है।
