जनसंख्या और नमूना मानक विचलन के बीच अंतर

2024 लेखक: Alex Aldridge | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 13:39

जनसंख्या बनाम नमूना मानक विचलन

आँकड़ों में, कई सूचकांकों का उपयोग इसकी केंद्रीय प्रवृत्ति, फैलाव और तिरछापन के अनुरूप डेटा सेट का वर्णन करने के लिए किया जाता है। मानक विचलन डेटा सेट के केंद्र से डेटा के फैलाव के सबसे सामान्य उपायों में से एक है।

व्यावहारिक कठिनाइयों के कारण, एक परिकल्पना का परीक्षण होने पर पूरी आबादी के डेटा का उपयोग करना संभव नहीं होगा। इसलिए, हम जनसंख्या के बारे में अनुमान लगाने के लिए नमूनों से डेटा मानों को नियोजित करते हैं। ऐसी स्थिति में, इन्हें अनुमानक कहा जाता है क्योंकि ये जनसंख्या पैरामीटर मानों का अनुमान लगाते हैं।

अनुमान में निष्पक्ष अनुमानकों का उपयोग करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। एक अनुमानक को निष्पक्ष कहा जाता है यदि उस अनुमानक का अपेक्षित मूल्य जनसंख्या पैरामीटर के बराबर हो। उदाहरण के लिए, हम जनसंख्या माध्य के लिए एक निष्पक्ष अनुमानक के रूप में नमूना माध्य का उपयोग करते हैं। (गणितीय रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि नमूना माध्य का अपेक्षित मान जनसंख्या माध्य के बराबर है)। जनसंख्या मानक विचलन के आकलन के मामले में, नमूना मानक विचलन एक निष्पक्ष अनुमानक भी है।

जनसंख्या मानक विचलन क्या है?

जब पूरी आबादी के डेटा को ध्यान में रखा जा सकता है (उदाहरण के लिए जनगणना के मामले में) तो जनसंख्या मानक विचलन की गणना करना संभव है। जनसंख्या के मानक विचलन की गणना करने के लिए, पहले जनसंख्या माध्य से डेटा मानों के विचलन की गणना की जाती है। विचलन का मूल माध्य वर्ग (द्विघात माध्य) जनसंख्या मानक विचलन कहलाता है।

10 छात्रों की एक कक्षा में, छात्रों के बारे में डेटा आसानी से एकत्र किया जा सकता है।यदि छात्रों की इस आबादी पर एक परिकल्पना का परीक्षण किया जाता है, तो नमूना मूल्यों का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, 10 छात्रों (किलोग्राम में) का वजन 70, 62, 65, 72, 80, 70, 63, 72, 77 और 79 मापा जाता है। तब दस लोगों का औसत वजन (किलोग्राम में) है (70+62+65+72+80+70+63+72+77+79)/10, जो 71 (किलोग्राम में) है। यह जनसंख्या माध्य है।

अब जनसंख्या मानक विचलन की गणना करने के लिए, हम माध्य से विचलन की गणना करते हैं। माध्य से संबंधित विचलन हैं (70 - 71)=-1, (62 - 71)=-9, (65 - 71)=-6, (72 - 71)=1, (80 - 71)=9, (70 - 71)=-1, (63 - 71)=-8, (72 - 71)=1, (77 - 71)=6 और (79 - 71)=8. विचलन के वर्गों का योग है (-1)² + (-9)² + (-6)² + 1 2 ^{+ 9}2 ^{+ (-1)}2 ^{+ (-8)}2^{+ 1}2 ^{+ 6}2 ^{+ 8}2 ^{=366. जनसंख्या मानक विचलन (366/10)=6.05 (किलोग्राम में) है। 71 कक्षा के छात्रों का सटीक माध्य भार है और 6.05, 71 से वजन का सटीक मानक विचलन है।}

नमूना मानक विचलन क्या है?

जब जनसंख्या के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए एक नमूने (आकार n) के डेटा का उपयोग किया जाता है, तो नमूना मानक विचलन की गणना की जाती है। पहले नमूना माध्य से डेटा मानों के विचलन की गणना की जाती है। चूँकि नमूना माध्य का उपयोग जनसंख्या माध्य (जो अज्ञात है) के स्थान पर किया जाता है, द्विघात माध्य लेना उचित नहीं है। नमूना माध्य के उपयोग की क्षतिपूर्ति करने के लिए, विचलन के वर्गों के योग को n के बजाय (n-1) से विभाजित किया जाता है। नमूना मानक विचलन इसका वर्गमूल है। गणितीय प्रतीकों में, S=√{∑(x_i-ẍ)² / (n-1)}, जहां S नमूना मानक विचलन है, नमूना माध्य है और x_{i डेटा बिंदु हैं।}

अब मान लीजिए कि, पिछले उदाहरण में, जनसंख्या पूरे स्कूल के छात्र हैं। फिर, कक्षा केवल एक नमूना होगी। यदि इस नमूने का उपयोग अनुमान में किया जाता है, तो नमूना मानक विचलन √(366/9)=6 होगा।38 (किलोग्राम में) के बाद से 366 को 10 (नमूना आकार) के बजाय 9 से विभाजित किया गया था। ध्यान देने योग्य तथ्य यह है कि यह सटीक जनसंख्या मानक विचलन मान होने की गारंटी नहीं है। इसके लिए यह केवल एक अनुमान है।

जनसंख्या मानक विचलन और नमूना मानक विचलन में क्या अंतर है?

• जनसंख्या मानक विचलन केंद्र से फैलाव को मापने के लिए उपयोग किया जाने वाला सटीक पैरामीटर मान है, जबकि नमूना मानक विचलन इसके लिए एक निष्पक्ष अनुमानक है।

• जनसंख्या मानक विचलन की गणना तब की जाती है जब जनसंख्या के प्रत्येक व्यक्ति के संबंध में सभी डेटा ज्ञात हो। अन्यथा, नमूना मानक विचलन की गणना की जाती है।

• जनसंख्या मानक विचलन σ={ ∑(xi-µ)²/ n} द्वारा दिया जाता है जहां जनसंख्या माध्य है और n जनसंख्या का आकार है लेकिन नमूना मानक विचलन S=√{ (xi-ẍ)^{2 / (n-1)} द्वारा दिया जाता है जहां नमूना माध्य है और n नमूना आकार है।}