संबंध बनाम कार्य
हाई स्कूल गणित के बाद से, फलन एक सामान्य शब्द बन जाता है। भले ही इसका प्रयोग अक्सर किया जाता है, लेकिन इसका उपयोग इसकी परिभाषा और व्याख्याओं की उचित समझ के बिना किया जाता है। यह आलेख किसी फ़ंक्शन के उन पहलुओं का वर्णन करने पर केंद्रित है।
रिश्ते
संबंध दो समुच्चयों के तत्वों के बीच की कड़ी है। अधिक औपचारिक सेटिंग में, इसे दो सेट X और Y के कार्टेशियन उत्पाद के सबसेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है। X और Y के कार्टेशियन उत्पाद, जिसे X × Y के रूप में दर्शाया जाता है, दो सेटों के तत्वों से मिलकर बने जोड़े का एक सेट है।, जिसे अक्सर (x, y) के रूप में दर्शाया जाता है। सेट अलग होना जरूरी नहीं है।उदाहरण के लिए, A×A से तत्वों के उपसमुच्चय को A पर संबंध कहा जाता है।
कार्य
कार्य एक विशेष प्रकार के संबंध हैं। यह विशेष प्रकार का संबंध बताता है कि कैसे एक तत्व को दूसरे सेट या उसी सेट में दूसरे तत्व से मैप किया जाता है। संबंध के एक फलन होने के लिए, दो विशिष्ट आवश्यकताओं को पूरा करना होगा।
सेट के प्रत्येक तत्व जहां प्रत्येक मैपिंग शुरू होती है, दूसरे सेट में एक संबद्ध/जुड़ा हुआ तत्व होना चाहिए।
सेट में जिन तत्वों से मैपिंग शुरू होती है, उन्हें केवल एक और दूसरे सेट में केवल एक तत्व से जोड़ा/लिंक किया जा सकता है
जिस समुच्चय से संबंध का मानचित्रण किया जाता है, उसे डोमेन कहते हैं। वह समुच्चय, जहाँ संबंध को मैप किया जाता है, कोडोमैन के रूप में जाना जाता है। कोडोमेन में तत्वों के उपसमुच्चय में केवल संबंध से जुड़े तत्वों को परास के रूप में जाना जाता है।
तकनीकी रूप से, एक फ़ंक्शन दो सेटों के बीच का संबंध है, जहां एक सेट में प्रत्येक तत्व दूसरे में एक तत्व के लिए विशिष्ट रूप से मैप किया जाता है।
निम्नलिखित पर ध्यान दें
- डोमेन के प्रत्येक तत्व को कोडोमेन में मैप किया जाता है।
- डोमेन के कई तत्व कोडोमेन में एक ही मान से जुड़े होते हैं, लेकिन डोमेन के एक तत्व को कोडोमेन के एक से अधिक तत्वों से नहीं जोड़ा जा सकता है। (मानचित्रण अद्वितीय होना चाहिए)
- यदि डोमेन के प्रत्येक तत्व को कोडोमेन में विशिष्ट और अद्वितीय तत्वों में मैप किया जाता है, तो फ़ंक्शन को "वन-टू-वन" फ़ंक्शन कहा जाता है।
कोडोमैन में डोमेन के तत्वों से जुड़े तत्वों के अलावा अन्य तत्व होते हैं। श्रेणी का कोडोमेन होना आवश्यक नहीं है। यदि कोडोमैन श्रेणी के बराबर है, तो फ़ंक्शन को "ऑनटू" फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है।
जब फलन द्वारा लिए जा सकने वाले मान वास्तविक होते हैं, तो इसे वास्तविक फलन कहते हैं। कोडोमैन और डोमेन के तत्व वास्तविक संख्याएं हैं।
फ़ंक्शंस को हमेशा वेरिएबल का उपयोग करके दर्शाया जाता है। कोडोमैन के तत्वों को प्रतीकात्मक रूप से चर द्वारा दर्शाया जाता है। संकेतन f(x) श्रेणी के तत्वों का प्रतिनिधित्व करता है। संबंध को f(x)=x^2 के रूप में व्यंजक का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। यह कहता है कि डोमेन के तत्व को कोडोमेन के भीतर तत्व के वर्ग में मैप किया जाता है।
फंक्शन और रिलेशन में क्या अंतर है?
• कार्य एक विशेष प्रकार के संबंध हैं।
• संबंध दो सेटों के कार्तीय गुणनफल पर आधारित है।
• कार्य विशिष्ट गुणों के साथ संबंधों पर आधारित है।
• किसी फ़ंक्शन के डोमेन को कोडोमेन में मैप किया जाना चाहिए ताकि प्रत्येक तत्व का कोडोमेन में एक विशिष्ट रूप से निर्धारित, संगत मान हो। संबंध एकल तत्व को अनेक मानों से जोड़ सकता है।
