वास्तविक संख्या बनाम काल्पनिक संख्या
संख्याएं गणितीय वस्तुएं हैं जिनका उपयोग गिनने और मापने के लिए किया जाता है। पिछले कुछ वर्षों में शून्य, ऋणात्मक संख्याओं, परिमेय संख्याओं, अपरिमेय संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं को जोड़ने से इसकी परिभाषा बदल गई है। भले ही संख्या प्रणालियों का सार आधार बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि समूह, वलयों और क्षेत्रों से संबंधित है, यहाँ केवल एक सहज ज्ञान युक्त विचार प्रस्तुत किया गया है।
असली संख्या क्या है?
अनौपचारिक रूप से परिभाषित, एक वास्तविक संख्या एक संख्या है जिसका वर्ग गैर-ऋणात्मक है। गणितीय संकेतन में, हम वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रतीक R से निरूपित करते हैं।इसलिए सभी x के लिए, यदि x R तो x 2 ≥ 0. अधिक कठोर तरीके से, वास्तविक संख्याओं के सेट को अद्वितीय के रूप में पेश कर सकते हैं, बाइनरी ऑपरेशन के साथ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए फ़ील्ड को पूरा कर सकते हैं + और। आदेश संबंध < के साथ। यह आदेश संबंध ट्राइकोटॉमी कानून का पालन करता है, जिसमें कहा गया है कि दो वास्तविक संख्याएं x और y दी गई हैं, इन 3 में से एक और केवल एक है; x > y, x < y या x=y.
एक वास्तविक संख्या या तो बीजीय या अनुवांशिक हो सकती है जो इस पर निर्भर करती है कि यह पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद समीकरण का मूल है या नहीं। साथ ही, एक वास्तविक संख्या या तो परिमेय या अपरिमेय हो सकती है जो इस बात पर निर्भर करती है कि इसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है या नहीं। उदाहरण के लिए, 2.5 एक वास्तविक संख्या है, जो बीजीय और परिमेय है, लेकिन ᴫ अपरिमेय होने के साथ-साथ पारलौकिक भी है।
असली संख्याओं का सेट पूरा हो गया है। इसका मतलब यह है कि वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय के लिए, जो ऊपर से घिरा हुआ है, कम से कम ऊपरी सीमा है, और इससे यह अनुमान लगाया जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय के लिए जो नीचे की सीमा में है, सबसे बड़ी निचली सीमा है।यह वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को परिमेय संख्याओं के समुच्चय से अलग करता है। कोई यह तर्क दे सकता है कि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अपूर्ण परिमेय संख्याओं के समुच्चय के अंतरालों को भरकर बनाया गया है, अंतराल अपरिमेय संख्याएँ हैं।
एक काल्पनिक संख्या क्या है?
एक काल्पनिक संख्या वह संख्या होती है जिसका वर्ग ऋणात्मक होता है। दूसरे शब्दों में, (-1), √(-100) और √(-e) जैसी संख्याएँ काल्पनिक संख्याएँ हैं। सभी काल्पनिक संख्याओं को i के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ i 'काल्पनिक इकाई' (-1) है और a एक शून्येतर वास्तविक संख्या है। (ध्यान दें कि मैं2=-1)। हालांकि ये संख्याएं गैर-वास्तविक लगती हैं और जैसा कि नाम से पता चलता है, इनका उपयोग विमानन, इलेक्ट्रॉनिक्स और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में कई आवश्यक वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में किया जाता है।
वास्तविक संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं में क्या अंतर है?• एक वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता है, लेकिन एक काल्पनिक संख्या का वर्ग ऋणात्मक होता है। • वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक पूर्णतः क्रमित फ़ील्ड बनाता है जबकि काल्पनिक संख्याओं का समूह न तो पूर्ण होता है और न ही क्रमित होता है। |
